Aksjomat pary

Aksjomat pary (nieuporządkowanej)

Aksjomat pary (nieuporządkowanej) jest jednym z aksjomatów zawartych w teorii mnogości Zermela-Fraenkla. Określa on, że dla dowolnych dwóch elementów istnieje zbiór, który składa się wyłącznie z tych dwóch elementów. Aksjomat ten został wprowadzony przez Zermela jako część zbioru aksjomatów, które zapewniają istnienie trzech elementarnych zbiorów: jedynego zbioru pustego, singletonu oraz pary nieuporządkowanej.

Postać formalna

Dla dowolnych zbiorów

A oraz B istnieje zbiór C, którego jedynymi elementami są A i B. Formalnie możemy to zapisać jako:

∀A ∀B ∃C ∀D (D ∈ C ⟺ D = A ∨ D = B).

Korzystając z aksjomatu ekstensjonalności, można łatwo wykazać, że dla dowolnych zbiorów A i B istnieje dokładnie jeden zbiór, który nazywamy parą nieuporządkowaną i oznaczamy jako {A, B}. Warto zauważyć, że jeśli A = B, to w rzeczywistości powstaje zbiór jednoelementowy.

Związek z innymi aksjomatami ZF

W teorii Zermela, zakładając aksjomaty teorii Z, niektóre pary (nieuporządkowane) zbiorów możemy tworzyć bez odwoływania się do aksjomatu pary. Jeśli ograniczymy nasze rozważania do elementów pewnego ustalonego zbioru X i wybierzemy dwa elementy z tego zbioru, to możemy skonstruować zbiór zawierający tylko te dwa wybrane elementy. Formalnie, jeśli A, B ∈ X, to do utworzenia pary z tych zbiorów nie jest wymagany aksjomat pary. Możemy to osiągnąć, korzystając tylko z aksjomatu wycinania.

Niech predykat φ(D) ≡ (D = A ∨ D = B). Wówczas, na mocy aksjomatu wycinania, istnieje zbiór Y = {D ∈ X : φ(D)}, który spełnia warunek (D ∈ Y) ⟺ (D = A ∨ D = B), a zatem Y = {A, B}.

W teorii Zermela-Fraenkla, zakładając aksjomaty teorii ZF, aksjomat pary staje się twierdzeniem wynikającym z aksjomatu zastępowania, który jest silniejszą wersją aksjomatu wycinania, oraz aksjomatów zbioru potęgowego, zbioru pustego i ekstensjonalności.

Rozważmy dowolne zbiory A, B oraz formułę φ, w której z jest zmienną związaną, daną przez φ(u, v) ≡ ((u = ∅ ∧ v = A) ∨ (u = P(∅) ∧ v = B)). Sprawdzamy, że formuła φ spełnia warunek φ(u, v) ∧ φ(u, w) ⟹ v = w, co wynika z faktu, że ∅ ≠ P(∅). W ten sposób spełnione jest założenie aksjomatu zastępowania.

Dalsze konstrukcje

Singleton

Mając daną parę zbiorów, możemy zdefiniować zbiór składający się z jednego elementu A, czyli zbiór jednoelementowy: {A} = {A, A}. Zbiór {A} należy odróżniać od zbioru A.

Nieuporządkowana n-ka

Posiadając zbiory A, B, C, możemy skonstruować zbiory {A, B} oraz {C}, a także zbiory { {A, B}, {C} }. Korzystając z aksjomatu sumy, uzyskujemy zbiór {A, B, C}, zwany trójką nieuporządkowaną. Postępując w analogiczny sposób, możemy definiować zbiory złożone z trzech, czterech itd. elementów.

Para uporządkowana

Dzięki aksjomatowi pary, możemy również zdefiniować parę uporządkowaną zbiorów A i B: (A, B) = {{A}, {A, B}}. Dwie pary uporządkowane (A, B) i (C, D) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy A = C i B = D. Aksjomat pary zapewnia istnienie, a aksjomat ekstensjonalności jednoznaczność tej definicji.