Matura 2025: Matematyka [ARKUSZE DO POBRANIA, ODPOWIEDZI, ROZWIĄZANIA]

6 maja, 2025 14:15|1 komentarz|Opublikowane przez: Krzysztof Mikołajczak

Wtorek, 6 maja 2025 r., godz. 9:00 – właśnie wtedy tysiące abiturientów w całej Polsce otworzyło arkusze z „królową nauk”. Poniżej znajdziesz wszystkie kluczowe informacje zebrane w jednym miejscu, a także opublikowaliśmy linki do pobrania arkuszy oraz odpowiedzi!

Godzina i czas trwania

Rozpoczęcie: 9:00 (poziom podstawowy).
Limit czasu (Formuła 2015): 170 minut – koniec o 11:50.
Limit czasu (Formuła 2023): 180 minut – koniec o 12:00.
Jeśli Twoja szkoła ma opóźnienie w rozdawaniu arkuszy, komisja dolicza tę różnicę, więc patrz na zegar przewodniczącego, nie swój.

Co wolno wnieść na salę?

Dokument tożsamości.
Czarny długopis lub pióro (co najmniej dwa na zapas).
Linijka, cyrkiel, kalkulator prosty (tylko podstawowe działania, pierwiastek, procenty).
„Wybrane wzory matematyczne” – zapewnia szkoła.
Zakazane są telefony, smart-watche i kalkulatory graficzne. Zostaw je w domu lub oddaj do depozytu.

Arkusze i odpowiedzi – kiedy online?

Centralna Komisja Egzaminacyjna opublikowała około 14:00 arkusze w formacie PDF. Specjalnie dla Was, przygotowaliśmy także odpowiedzi na pytania! Wszystko znajduje się poniżej!

Poziom podstawowy

MMAP-P0-100-A-2505 (wersja A)
MMAU-P0-100-A-2505

MMAP-P0-100-B-2505 (wersja B)

MMAP-P0-200-A-2505

MMAP-P0-660-A-2505

Rozwiązanie testu z matematyki (Matura 2025)

Zadanie 1 (0–1)

Treść: Liczba $(\sqrt{32}-2)^2$ jest równa

A. $16$ B. $18$ C. $30$ D. $34$

Odpowiedź: B. 18.

Uwaga: Przyjmując, że treść miała brzmieć $(\sqrt{32}-\sqrt{2})^{2}$:
$(\sqrt{32}-\sqrt{2})^{2} = (4\sqrt{2}-\sqrt{2})^{2} = (3\sqrt{2})^{2} = 9 \cdot 2 = 18$. Wtedy odp. B jest poprawna.
Zadanie 2 (0–1)

Treść: Liczba $\dfrac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}$ jest równa

A. $30$ B. $31$ C. $5^{12}$ D. $5^{27}$

Odpowiedź: B. 31.

$\dfrac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}} = \dfrac{5^{12}(1+5^1+5^2)}{5^{12}} = 1+5+25 = 31$.
Zadanie 3 (0–1)

Treść: Liczba $\log_{3}108-2\log_{3}2$ jest równa

A. $3$ B. $9$ C. $\log_{3}104$ D. $2\log_{3}54$

Odpowiedź: A. 3.

$\log_{3}108-2\log_{3}2 = \log_{3}108 – \log_{3}(2^2) = \log_{3}108 – \log_{3}4 = \log_{3}\left(\frac{108}{4}\right) = \log_{3}27 = 3$.
Zadanie 4 (0–1)

Treść: Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenia $(3x+2)^{2}-(2x-3)^{2}$ jest równa

A. $5x^{2}-5$ B. $5x^{2}+13$ C. $5x^{2}+24x-5$ D. $5x^{2}+24x-13$

Odpowiedź: C. $5x^{2}+24x-5$.

$(3x+2)^{2}-(2x-3)^{2} = (9x^2 + 12x + 4) – (4x^2 – 12x + 9)$
$= 9x^2 + 12x + 4 – 4x^2 + 12x – 9$
$= 5x^2 + 24x – 5$.
Zadanie 5 (0–2)

Treść: Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $3n^{2}+2n+7$ jest podzielna przez 4.

Rozwiązanie:

Niech $n$ będzie nieparzystą liczbą naturalną. Wtedy $n$ można zapisać w postaci $n=2k+1$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą nieujemną ($k \ge 0$).

Podstawiamy $n=2k+1$ do wyrażenia:
$$ \begin{aligned} 3n^{2}+2n+7 &= 3(2k+1)^{2}+2(2k+1)+7 \\ &= 3(4k^{2}+4k+1)+4k+2+7 \\ &= 12k^{2}+12k+3+4k+2+7 \\ &= 12k^{2}+16k+12 \\ &= 4(3k^{2}+4k+3) \end{aligned} $$
Ponieważ $k$ jest liczbą całkowitą, wyrażenie $3k^{2}+4k+3$ również jest liczbą całkowitą. Zatem całe wyrażenie $3n^{2}+2n+7$ jest iloczynem liczby 4 i liczby całkowitej $3k^{2}+4k+3$, co oznacza, że jest podzielne przez 4. ■
Zadanie 6 (0–1)

Treść: Rozwiąż nierówność $3-2(1-2x)\ge 2x-17$.

Odpowiedź: $x\ge -9$.

$3 – 2 + 4x \ge 2x – 17$
$1 + 4x \ge 2x – 17$
$4x – 2x \ge -17 – 1$
$2x \ge -18$
$x \ge -9$.

(Poprawny rysunek: oś liczbowa z zaznaczoną kropką zamalowaną na $-9$ i strzałką w prawo – Rysunek C).
Zadanie 7 (0–1)

Treść: Równanie $2x(x+3)(x^{2}+25)=0$ ma

A. dwa rozwiązania: $-3$ i $0$.

B. dwa rozwiązania: $-3$ i $2$.

C. trzy rozwiązania: $-5$, $-3$ i $0$.

D. cztery rozwiązania: $-5$, $-3$, $0$, $5$.

Odpowiedź: A.

Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero.
$2x = 0 \implies x = 0$
$x+3 = 0 \implies x = -3$
$x^2+25 = 0 \implies x^2 = -25$. To równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Zatem rozwiązania to $x=0$ i $x=-3$.
Zadanie 8 (0–1)

Treść: Dla $x\ne -2,0$ wartość wyrażenia $\dfrac{x^{2}+x}{x^{2}+4x+4}\cdot\dfrac{x+2}{x}$ jest równa

A. $\dfrac{x+2}{4x+4}$ B. $\dfrac{x+1}{4x+5}$ C. $\dfrac{x+1}{x+2}$ D. $\dfrac{2x}{x+2}$

Odpowiedź: C.

$\dfrac{x^{2}+x}{x^{2}+4x+4}\cdot\dfrac{x+2}{x} = \dfrac{x(x+1)}{(x+2)^2}\cdot\dfrac{x+2}{x}$
Dla $x\ne -2,0$:
$= \dfrac{\cancel{x}(x+1)}{\cancel{(x+2)^2}^{\,x+2}}\cdot\dfrac{\cancel{x+2}}{\cancel{x}} = \dfrac{x+1}{x+2}$.
Zadanie 9 (0–2)

Treść: Z budżetu 1 200 000 zł przyznano środki zespołom A i B. W I półroczu wydano łącznie 146 700 zł. W tym okresie zespół A wydał 13% swoich środków, a zespół B wydał 11% swoich środków. Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A.

Rozwiązanie:

Niech $a$ – kwota dla zespołu A, $b$ – kwota dla zespołu B.
$$ \begin{cases} a+b = 1\,200\,000 \\ 0.13a + 0.11b = 146\,700 \end{cases} $$
Z pierwszego równania: $b = 1\,200\,000 – a$. Podstawiamy do drugiego:
$$ \begin{aligned} 0.13a + 0.11(1\,200\,000 – a) &= 146\,700 \\ 0.13a + 132\,000 – 0.11a &= 146\,700 \\ 0.02a &= 146\,700 – 132\,000 \\ 0.02a &= 14\,700 \quad / : 0.02 \\ a &= 735\,000 \end{aligned} $$

Odpowiedź: 735 000 zł.
Zadanie 10 (0–2)

Treść: Rozwiąż nierówność $3(2x^{2}+1)<11x$.

Rozwiązanie:
$6x^{2}+3 < 11x$
$6x^{2}-11x+3 < 0$.

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego $6x^{2}-11x+3=0$:
$\Delta = (-11)^2 – 4 \cdot 6 \cdot 3 = 121 – 72 = 49$.
$\sqrt{\Delta} = 7$.
$x_{1} = \dfrac{-(-11) – 7}{2 \cdot 6} = \dfrac{11-7}{12} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$.
$x_{2} = \dfrac{-(-11) + 7}{2 \cdot 6} = \dfrac{11+7}{12} = \dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2}$.

Parabola $y=6x^2-11x+3$ ma ramiona skierowane w górę (bo $a=6>0$). Wartości ujemne funkcja przyjmuje między pierwiastkami.
Zatem $x \in (\frac{1}{3}, \frac{3}{2})$.

Odpowiedź: $x \in \boxed{\left(\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right)}$.
Zadanie 11 (0–4)

Treść: Funkcja $f$ jest określona wzorem: $$ f(x)= \begin{cases} x+5, & \text{dla } x\in[-4,-2], \\ 3, & \text{dla } x\in(-2,2], \\ -3x+9, & \text{dla } x\in(2,4). \end{cases} $$ Uzupełnij zdania.

Rozwiązanie i odpowiedzi:

a) Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D_f = [-4, -2] \cup (-2, 2] \cup (2, 4) = \boxed{[-4, 4)}$.

b) Zbiorem wartości funkcji $f$ jest zbiór $ZW_f$:
Dla $x \in [-4, -2]$, $f(x)=x+5$. Wartości od $f(-4)=-4+5=1$ do $f(-2)=-2+5=3$. Zbiór wartości to $[1, 3]$.
Dla $x \in (-2, 2]$, $f(x)=3$. Zbiór wartości to $\{3\}$.
Dla $x \in (2, 4)$, $f(x)=-3x+9$. Wartości od $f(2)=-3(2)+9=3$ (ale $x>2$) do $f(4)=-3(4)+9=-3$ (ale $x<4$). Zbiór wartości to $(-3, 3)$.
Łączny zbiór wartości to $(-3, 3] \cup \{3\} \cup [1, 3] = \boxed{(-3, 3]}$.

c) Funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie ($f(x) > 0$) dla $x$ należących do zbioru:
Dla $x+5 > 0 \implies x > -5$. W dziedzinie $[-4, -2]$ warunek jest spełniony. Zbiór: $[-4, -2]$.
Dla $f(x)=3$, wartość jest dodatnia. Zbiór: $(-2, 2]$.
Dla $-3x+9 > 0 \implies -3x > -9 \implies x < 3$. W dziedzinie $(2, 4)$ warunek spełniony dla $(2, 3)$.
Łączny zbiór to $[-4, -2] \cup (-2, 2] \cup (2, 3) = \boxed{[-4, 3)}$.

d) Równanie $f(x)=3$ jest spełnione dla $x$ należących do zbioru:
$x+5=3 \implies x = -2$. Należy do $[-4, -2]$.
$f(x)=3$ dla $x \in (-2, 2]$.
$-3x+9=3 \implies -3x = -6 \implies x=2$. Nie należy do $(2, 4)$.
Rozwiązania to $x=-2$ oraz przedział $(-2, 2]$. Łącznie: $\boxed{[-2, 2]}$.
Zadanie 12 (3 pkt)

12.1 (0–2)

Treść: Parabola o wierzchołku w punkcie $W=(3,6)$ przechodzi przez punkt $P=(0,3)$. Wyznacz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.

Rozwiązanie:

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej: $f(x)=a(x-p)^2+q$, gdzie $(p,q)$ to współrzędne wierzchołka.

Tutaj $p=3, q=6$, więc $f(x)=a(x-3)^2+6$.

Parabola przechodzi przez $P=(0,3)$, więc $f(0)=3$. Podstawiamy:
$3 = a(0-3)^2 + 6$
$3 = a(-3)^2 + 6$
$3 = 9a + 6$
$-3 = 9a$
$a = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}$.

Odpowiedź: $f(x)=-\dfrac{1}{3}(x-3)^{2}+6$.

12.2 (0–1)

Treść: Osią symetrii paraboli opisanej w zadaniu 12.1 jest prosta o równaniu:

A. $x=3$ B. $y=3$ C. $x=6$ D. $y=6$

Odpowiedź: A. $x=3$. (Oś symetrii przechodzi przez pierwszą współrzędną wierzchołka).

12.3 (0–1)

Treść: Rozważmy funkcję $g(x)=f(x)-3$, gdzie $f$ jest funkcją z zadania 12.1. Oblicz sumę miejsc zerowych funkcji $g$.

Rozwiązanie:
Szukamy $x$ takich, że $g(x)=0$, czyli $f(x)-3=0$, a więc $f(x)=3$.
$-\dfrac{1}{3}(x-3)^{2}+6 = 3$
$-\dfrac{1}{3}(x-3)^{2} = -3 \quad / \cdot (-3)$
$(x-3)^{2} = 9$
$x-3 = 3$ lub $x-3 = -3$
$x_1 = 6$ lub $x_2 = 0$.
Suma miejsc zerowych: $x_1 + x_2 = 6 + 0 = 6$.

Odpowiedź: Suma miejsc zerowych wynosi 6.
Zadanie 13 (0–1)

Treść: Funkcja liniowa $f(x)=(3-m)x-4$ nie ma miejsca zerowego, gdy

A. $m=0$ B. $m=4$ C. $m=3$ D. $m=-3$

Odpowiedź: C. $m=3$.

Funkcja liniowa $f(x)=ax+b$ nie ma miejsca zerowego, gdy jest funkcją stałą różną od zera, czyli gdy $a=0$ i $b \ne 0$.
Tutaj $a = 3-m$ i $b = -4$. Warunek $b \ne 0$ jest spełniony ($-4 \ne 0$).
Warunek $a=0$ oznacza $3-m=0$, czyli $m=3$.
Zadanie 14 (0–2)

Treść: Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = n^2 – 2n + 3$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.

14.1 Trzeci wyraz tego ciągu jest równy:

A. $3$ B. $6$ C. $9$ D. $11$

Odpowiedź: B. 6.

$a_3 = 3^2 – 2(3) + 3 = 9 – 6 + 3 = 6$.

14.2 Oceń prawdziwość podanych zdań.

1. Ciąg $(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym. P / F

2. Ciąg $(a_n)$ jest ciągiem geometrycznym. P / F

Odpowiedź: 1. F, 2. F.

$a_1 = 1^2 – 2(1) + 3 = 1 – 2 + 3 = 2$.
$a_2 = 2^2 – 2(2) + 3 = 4 – 4 + 3 = 3$.
$a_3 = 6$.
$a_4 = 4^2 – 2(4) + 3 = 16 – 8 + 3 = 11$.
Różnice: $a_2-a_1 = 1$, $a_3-a_2 = 3$. Różnice nie są stałe, więc nie jest arytmetyczny.
Ilorazy: $a_2/a_1 = 3/2$, $a_3/a_2 = 6/3 = 2$. Ilorazy nie są stałe, więc nie jest geometryczny.
Zadanie 15 (0–3)

Treść: Wyznacz wszystkie wartości $m$, dla których ciąg $(2m+11, m^{2}+3, 5-m)$ jest arytmetyczny i malejący.

Rozwiązanie:

Warunek ciągu arytmetycznego: wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich.
$m^2+3 = \dfrac{(2m+11) + (5-m)}{2}$
$2(m^2+3) = m + 16$
$2m^2+6 = m + 16$
$2m^2 – m – 10 = 0$.
Obliczamy pierwiastki: $\Delta = (-1)^2 – 4(2)(-10) = 1 + 80 = 81$. $\sqrt{\Delta}=9$.
$m_1 = \dfrac{-(-1) – 9}{2 \cdot 2} = \dfrac{1-9}{4} = \dfrac{-8}{4} = -2$.
$m_2 = \dfrac{-(-1) + 9}{2 \cdot 2} = \dfrac{1+9}{4} = \dfrac{10}{4} = 2.5$.

Sprawdzamy warunek ciągu malejącego ($a_1 > a_2 > a_3$).
Przypadek 1: $m=-2$.
$a_1 = 2(-2)+11 = -4+11 = 7$.
$a_2 = (-2)^2+3 = 4+3 = 7$.
$a_3 = 5-(-2) = 5+2 = 7$.
Ciąg $(7, 7, 7)$ jest arytmetyczny (stały), ale nie jest malejący. $m=-2$ odpada.
Przypadek 2: $m=2.5 = \frac{5}{2}$.
$a_1 = 2(2.5)+11 = 5+11 = 16$.
$a_2 = (2.5)^2+3 = 6.25+3 = 9.25$.
$a_3 = 5-2.5 = 2.5$.
Ciąg $(16, 9.25, 2.5)$. Sprawdzamy $16 > 9.25 > 2.5$. Warunek spełniony.

Odpowiedź: $m=\dfrac{5}{2}$.
Zadanie 16 (0–1)

Treść: W ciągu geometrycznym $(a_n)$ dane są $a_1=16$ i $q=-\frac{1}{2}$. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy:

A. $-2$ B. $-1$ C. $1$ D. $2$

Odpowiedź: A. -2.

$a_4 = a_1 \cdot q^{4-1} = a_1 \cdot q^3 = 16 \cdot (-\frac{1}{2})^3 = 16 \cdot (-\frac{1}{8}) = -2$.
Zadanie 17 (0–1)

Treść: Dla kąta ostrego $\alpha$ spełniony jest warunek $\sqrt{3}\tan\alpha=2\sin\alpha$. Wtedy

A. $\cos\alpha = \frac{1}{2}$ B. $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ C. $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ D. $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Odpowiedź: C.

$\sqrt{3} \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha$.
Ponieważ $\alpha$ jest ostry, $\sin\alpha \ne 0$. Możemy podzielić przez $\sin\alpha$.
$\dfrac{\sqrt{3}}{\cos\alpha} = 2 \implies 2\cos\alpha = \sqrt{3} \implies \cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Zadanie 18 (0–2)

Treść: W trójkącie prostokątnym $ABC$ przyprostokątne mają długości $AB=6, AC=4$. Bok $BC$ ma długość $\sqrt{52}=2\sqrt{13}$. Niech $\alpha = \angle ABC$ i $\beta = \angle ACB$.

18.1 Wartość $\tan\alpha$ jest równa:

A. $\frac{2}{3}$ B. $\frac{3}{2}$ C. $\frac{2}{\sqrt{13}}$ D. $\frac{4}{\sqrt{52}}$

Odpowiedź: A. $\frac{2}{3}$.

$\tan\alpha = \tan(\angle ABC) = \dfrac{\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przyprostokątna przyległa}} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.

18.2 Wartość $\sin\beta$ jest równa:

A. $\frac{3}{\sqrt{13}}$ B. $\frac{6}{2\sqrt{13}}$ C. $\frac{4}{6}$ D. $\frac{6}{\sqrt{52}}$

Odpowiedź: A.

$\sin\beta = \sin(\angle ACB) = \dfrac{\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{6}{2\sqrt{13}} = \dfrac{3}{\sqrt{13}}$.
Zadanie 19 (0–1)

Treść: Punkt $O$ jest środkiem okręgu. Miara kąta $\alpha$ (zaznaczonego na rysunku) jest równa 50°. Jaką miarę ma kąt $\beta = \angle ABO$?

(Rysunek przedstawia okrąg ze środkiem O, punktami A i B na okręgu, oraz punkt C poza okręgiem taki, że odcinki CA i CB są styczne do okręgu w punktach A i B. Kąt ACB ma miarę $\alpha = 50^{\circ}$. Kąt ABO to $\beta$.)

A. $20^{\circ}$ B. $25^{\circ}$ C. $40^{\circ}$ D. $50^{\circ}$

Odpowiedź: B. 25°.

Promienie $OA$ i $OB$ są prostopadłe do stycznych $CA$ i $CB$. Zatem $\angle OAC = \angle OBC = 90^{\circ}$.
W czworokącie $OACB$ suma kątów wynosi $360^{\circ}$.
$\angle AOB + \angle OAC + \angle ACB + \angle OBC = 360^{\circ}$
$\angle AOB + 90^{\circ} + 50^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$
$\angle AOB + 230^{\circ} = 360^{\circ} \implies \angle AOB = 130^{\circ}$.
Trójkąt $OAB$ jest równoramienny ($OA=OB=$ promień). Kąty przy podstawie są równe: $\angle OAB = \angle OBA = \beta$.
Suma kątów w $\triangle OAB$: $\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ}$
$130^{\circ} + \beta + \beta = 180^{\circ}$
$2\beta = 50^{\circ} \implies \beta = 25^{\circ}$.
Zadanie 20 (0–1)

Treść: W trójkącie $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$. Odcinek $AD$ ma długość 3. Kąty $BAD$ i $CAD$ są równe ($\angle BAD = \angle CAD = \alpha$), $\angle ADC = 90^{\circ}$. Wiadomo, że $\sin\alpha = \frac{3}{5}$. Oblicz długość $BD$.

(Rysunek: Trójkąt ABC, D na BC, AD jest wysokością i dwusieczną kąta BAC).

A. $2$ B. $2,25$ C. $2,5$ D. $3$

Odpowiedź: B. 2,25.

W trójkącie prostokątnym $ADC$ mamy $\angle CAD = \alpha$.
$\sin\alpha = \frac{CD}{AC} = \frac{3}{5}$.
$\cos\alpha = \frac{AD}{AC} = \sqrt{1-\sin^2\alpha} = \sqrt{1 – (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
Zatem $\frac{3}{AC} = \frac{4}{5} \implies AC = \frac{15}{4}$.
W trójkącie prostokątnym $ADB$ mamy $\angle BAD = \alpha$.
$\tan\alpha = \frac{BD}{AD}$.
Potrzebujemy $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.
$\frac{BD}{AD} = \frac{3}{4} \implies \frac{BD}{3} = \frac{3}{4} \implies BD = \frac{9}{4} = 2.25$.
Zadanie 21 (0–1)

Treść: W trójkącie równobocznym $ABC$ o boku 6 cm poprowadzono wysokość $CD$. Oceń prawdziwość zdań.

1. Trójkąt $ADC$ jest równoramienny. P / F

2. Pole trójkąta $ADC$ wynosi $9\sqrt{3}\ \text{cm}^2$. P / F

Odpowiedź: 1. F, 2. F.

1. W $\triangle ADC$: $AC=6$, $AD=3$ (bo D to środek AB), $CD = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. Boki mają różne długości $(6, 3, 3\sqrt{3})$, więc nie jest równoramienny. (F)
2. Pole $\triangle ABC = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$. Wysokość $CD$ dzieli trójkąt $ABC$ na dwa przystające trójkąty prostokątne $ADC$ i $BDC$. Pole $\triangle ADC = \frac{1}{2} \cdot \text{Pole } \triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot 9\sqrt{3} = 4.5\sqrt{3}$. (F)
Zadanie 22 (0–1)

Treść: Pole kwadratu jest równe 50. Przekątna tego kwadratu ma długość:

A. $5$ B. $5\sqrt{2}$ C. $10$ D. $10\sqrt{2}$

Odpowiedź: C. 10.

Pole $P=a^2=50$, gdzie $a$ to bok kwadratu. $a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
Przekątna $d = a\sqrt{2} = (5\sqrt{2})\sqrt{2} = 5 \cdot 2 = 10$.
Alternatywnie: $P = \frac{d^2}{2}$. $50 = \frac{d^2}{2} \implies d^2 = 100 \implies d=10$ (bo $d>0$).
Zadanie 23 (0–1)

Treść: Proste o równaniach $y=(m-1)x+2$ oraz $y=-3x+m$ są równoległe, gdy

A. $m=4$ B. $m=-2$ C. $m=-4$ D. $m=2$

Odpowiedź: B. $m=-2$.

Proste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe.
$m-1 = -3 \implies m = -3+1 = -2$.
Zadanie 24 (0–1)

Treść: Środkiem okręgu o równaniu $x^2-4x+y^2-8y=0$ jest punkt $S=(2,4)$. Promień tego okręgu jest równy:

A. $2\sqrt{10}$ B. $\sqrt{20}$ C. $\sqrt{10}$ D. $20$

Odpowiedź: B. $\sqrt{20}$.

Przekształcamy równanie do postaci kanonicznej $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$:
$(x^2-4x) + (y^2-8y) = 0$
$(x^2-4x+4) – 4 + (y^2-8y+16) – 16 = 0$
$(x-2)^2 + (y-4)^2 – 20 = 0$
$(x-2)^2 + (y-4)^2 = 20$.
Zatem $r^2 = 20$, a $r = \sqrt{20}$.
Zadanie 25 (0–3)

Treść: Tworząca stożka ma długość $l=8$, a kąt rozwarcia stożka ma miarę $\varphi=120^{\circ}$. Oblicz objętość stożka.

Rozwiązanie:

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o ramionach $l=8$ i kącie między ramionami $\varphi=120^{\circ}$. Wysokość stożka $h$ dzieli ten kąt na pół ($60^{\circ}$) i tworzy trójkąt prostokątny z promieniem podstawy $r$ i tworzącą $l$.
W tym trójkącie prostokątnym:
$\sin(60^{\circ}) = \frac{r}{l} \implies r = l \sin(60^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$.
$\cos(60^{\circ}) = \frac{h}{l} \implies h = l \cos(60^{\circ}) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$.
Objętość stożka $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.
$V = \frac{1}{3}\pi (4\sqrt{3})^2 \cdot 4 = \frac{1}{3}\pi (16 \cdot 3) \cdot 4 = \frac{1}{3}\pi \cdot 48 \cdot 4 = \pi \cdot 16 \cdot 4 = 64\pi$.

Odpowiedź: $V=64\pi$.
Zadanie 26 (0–1)

Treść: Krawędź sześcianu ma długość 9. Przekątna tego sześcianu ma długość:

A. $9\sqrt{3}$ B. $9\sqrt{2}$ C. $27$ D. $81\sqrt{3}$

Odpowiedź: A. $9\sqrt{3}$.

Przekątna sześcianu o krawędzi $a$ ma długość $d=a\sqrt{3}$.
Dla $a=9$, $d=9\sqrt{3}$.
Zadanie 27 (0–1)

Treść: Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od 5?

A. $16$ B. $20$ C. $25$ D. $30$

Odpowiedź: A. 16.

Cyfry mniejsze od 5 to $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.
Liczba dwucyfrowa ma postać $XY$, gdzie $X$ to cyfra dziesiątek, $Y$ to cyfra jedności.
Warunki: $X \in \{0,1,2,3,4\}$, $Y \in \{0,1,2,3,4\}$, oraz $X \ne 0$ (bo liczba jest dwucyfrowa).
Możliwe wartości dla $X$: $\{1, 2, 3, 4\}$ (4 możliwości).
Możliwe wartości dla $Y$: $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ (5 możliwości).
Liczba takich liczb: $4 \times 5 = 20$.

Odpowiedź: B. 20.
Zadanie 28 (0–1)

Treść: Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie równa 3?

A. $\frac{1}{12}$ B. $\frac{1}{18}$ C. $\frac{1}{9}$ D. $\frac{1}{6}$

Odpowiedź: B. $\frac{1}{18}$.

Wszystkich możliwych wyników jest $|\Omega| = 6 \times 6 = 36$.
Zdarzenia sprzyjające (suma oczek równa 3): $A = \{(1, 2), (2, 1)\}$.
Liczba zdarzeń sprzyjających: $|A|=2$.
Prawdopodobieństwo: $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.
Zadanie 29 (0–1)

Treść: Średnia arytmetyczna liczb $x, y, z$ wynosi 4. Ile wynosi średnia arytmetyczna liczb $x+1, y+2, z+3$?

A. $4$ B. $5$ C. $6$ D. $7$

Odpowiedź: C. 6.

Wiemy, że $\frac{x+y+z}{3} = 4$, czyli $x+y+z = 12$.
Szukamy średniej: $\frac{(x+1)+(y+2)+(z+3)}{3} = \frac{x+y+z+1+2+3}{3} = \frac{(x+y+z)+6}{3}$.
Podstawiamy $x+y+z=12$: $\frac{12+6}{3} = \frac{18}{3} = 6$.
Zadanie 30 (0–2)

Treść: Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w klasie liczącej 24 uczniów. Wyznacz medianę i dominantę ocen.

(Diagram pokazuje: ocena 1 – 3 uczniów, ocena 2 – 3 uczniów, ocena 3 – 5 uczniów, ocena 4 – 4 uczniów, ocena 5 – 6 uczniów, ocena 6 – 3 uczniów).

Rozwiązanie:

Oceny uporządkowane rosnąco:
$\underbrace{1, 1, 1}_{3}, \underbrace{2, 2, 2}_{3}, \underbrace{3, 3, 3, 3, 3}_{5}, \underbrace{4, 4, 4, 4}_{4}, \underbrace{5, 5, 5, 5, 5, 5}_{6}, \underbrace{6, 6, 6}_{3}$
Liczba uczniów: $N=24$ (parzysta).

Mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyników: 12-tego i 13-tego.
Pierwsze $3+3+5 = 11$ ocen to 1, 2, 3.
12-ta ocena to 4.
13-ta ocena to 4 (bo oceny 4 są na pozycjach 12, 13, 14, 15).
Mediana = $\frac{4+4}{2} = 4$.

Dominanta to najczęściej występująca ocena. Ocena 5 występuje najczęściej (6 razy).
Dominanta = 5.

Odpowiedź: Mediana = 4, Dominanta = 5.
Zadanie 31 (0–4)

Treść: Rozważamy prostopadłościany, w których podstawa $ABCD$ jest kwadratem o boku $x$, a krawędź boczna $BF$ ma długość $11-x$. Przyjmujemy, że $0

Rozwiązanie:

Oznaczenia krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka (np. B):
$a = AB = x$ (krawędź podstawy)
$b = BC = x$ (krawędź podstawy, bo podstawa jest kwadratem)
$c = BF = 11-x$ (krawędź boczna / wysokość)

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu: $P_c = 2(ab + ac + bc)$.
$$ \begin{aligned} P(x) &= 2(x \cdot x + x(11-x) + x(11-x)) \\ &= 2(x^2 + 11x – x^2 + 11x – x^2) \\ &= 2(-x^2 + 22x) \\ P(x) &= -2x^2 + 44x \end{aligned} $$
Funkcja $P(x)=-2x^2 + 44x$ jest funkcją kwadratową, której wykresem jest parabola z ramionami skierowanymi w dół (bo $a=-2<0$). Osiąga ona wartość maksymalną w wierzchołku.

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli $y=ax^2+bx+c$ to $x_w = -\frac{b}{2a}$.
$x_w = -\frac{44}{2 \cdot (-2)} = -\frac{44}{-4} = 11$.

Jednak dziedziną funkcji jest przedział $x \in (0, 11)$. Ponieważ wierzchołek $x_w = 11$ leży na krańcu dziedziny (poza nią), a ramiona paraboli są skierowane w dół, funkcja $P(x)$ jest rosnąca w całej dziedzinie $(0, 11)$. Oznacza to, że nie osiąga wartości maksymalnej wewnątrz tego przedziału. Im $x$ jest bliższe 11, tym pole jest większe.

Uwaga: Sprawdźmy, czy na pewno podstawa jest kwadratem o boku x. Jeśli jedna krawędź podstawy to x, a druga to 4 (jak w Twoim rozwiązaniu zadania 31), to:
$a=x, b=4, c=11-x$.
$P(x) = 2(ab+ac+bc) = 2(x \cdot 4 + x(11-x) + 4(11-x))$
$P(x) = 2(4x + 11x – x^2 + 44 – 4x)$
$P(x) = 2(-x^2 + 11x + 44) = -2x^2 + 22x + 88$.
Wierzchołek: $x_w = -\frac{b}{2a} = -\frac{22}{2(-2)} = -\frac{22}{-4} = 5.5$.
Wartość $x=5.5$ należy do dziedziny $(0, 11)$. Ponieważ parabola ma ramiona w dół, w wierzchołku osiąga maksimum.

Odpowiedź (przy założeniu podstawy $x \times 4$ jak w Twoim rozwiązaniu):
Wzór funkcji: $P(x)=-2x^{2}+22x+88$ dla $x\in(0,11)$.
Pole jest największe dla $x=5,5$.

Odpowiedź (przy założeniu podstawy $x \times x$ jak sugeruje treść „podstawa ABCD jest kwadratem o boku x”):
Wzór funkcji: $P(x)=-2x^{2}+44x$ dla $x\in(0,11)$.
Funkcja nie osiąga wartości maksymalnej w podanej dziedzinie (jest rosnąca dla $x<11$).

Kalendarz maturzysty 2025

Wydarzenie	Termin
Egzaminy pisemne	5–22 maja
Egzaminy ustne	9–24 maja
Terminy dodatkowe (pisemne)	3–17 czerwca
Ogłoszenie wyników	8 lipca
Sesja poprawkowa	19 sierpnia (pisemny) / 20 sierpnia (ustny)
Wyniki poprawek	10 września