*-pierścień

*-pierścień, znany również jako pierścień łączny, to struktura oznaczona symbolem *, która wprowadza dodatkowe jednoargumentowe działanie, nazywane inwolucją. Dla każdego elementu x oraz y w tym pierścieniu muszą być spełnione następujące warunki:

(x + y)* = x* + y*
(xy)* = y*x*
((x*)* = x

*-algebra

*-pierścień, który jest algebrą nad innym *-pierścieniem, nazywamy *-algebrą. Przykładem może być *-pierścień nad ciałem liczb zespolonych, gdzie sprzężenie zespolone pełni rolę inwolucji.

*-homomorfizm

Jeżeli A i B są *-algebrami, to homomorfizm algebr h: A → B nazywamy *-homomorfizmem, gdy zachodzi warunek:

h(a*) = (h(a))* dla wszystkich elementów a w algebrze A.

Element samosprzężony

Element a w pierścieniu A jest nazywany samosprzężonym, jeśli spełnia równanie:

a* = a.

Przykłady

Przykładem *-pierścienia (a jednocześnie *-algebry jako algebry nad samym sobą) jest ciało liczb zespolonych z inwolucją w postaci sprzężenia. Algebra macierzy kwadratowych stopnia n nad ciałem liczb zespolonych, z inwolucją będącą sprzężeniem hermitowskim, również stanowi *-algebrę.

Ogólnie, dla danej przestrzeni Hilberta H, algebra wszystkich ograniczonych operatorów liniowych na H z inwolucją będącą przyporządkowaniem operatora sprzężonego, jest *-algebrą. Iloczyn tensorowy A ⊗ B, utworzony z *-algebr A oraz B, również jest *-algebrą. Dla elementów a ∈ A oraz b ∈ B zachodzi warunek:

(a ⊗ b)* = a* ⊗ b*.