Alternatywa Fredholma
Alternatywa Fredholma to twierdzenie w dziedzinie analizy funkcjonalnej, dotyczące istnienia oraz jednoznaczności równań liniowych w przestrzeniach Banacha. Nazwa tego twierdzenia wywodzi się od Erika Fredholma, który udowodnił je w kontekście równań całkowych w przestrzeni Hilberta.
Alternatywa Fredholma stanowi uogólnienie na nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha pewnego faktu z algebry liniowej. Dla konkretnego przekształcenia liniowego
{\displaystyle A\colon V\to V}
na
{\displaystyle n}
-wymiarowej przestrzeni liniowej, zachodzi dokładnie jedna z następujących możliwości:
-
{\displaystyle A} jest odwzorowaniem suriektywnym,
Dla każdego
{\displaystyle y\in V}
istnieje taki element
{\displaystyle x\in V,}
że
{\displaystyle Ax=y;}
-
{\displaystyle A} nie jest odwzorowaniem różnowartościowym,
istnieje taki niezerowy element
{\displaystyle v\in V,}
że
{\displaystyle Av=0.}
Wersja podstawowa
Niech
{\displaystyle X}
będzie zespoloną przestrzenią Banacha,
{\displaystyle T\colon X\to X}
będzie liniowym operatorem zwartym oraz
{\displaystyle \lambda }
będzie niezerową liczbą zespoloną. Wówczas równanie
{\displaystyle Tx-\lambda x=y}
ma rozwiązanie dla każdego
{\displaystyle y\in X}
wtedy i tylko wtedy, gdy jedynym rozwiązaniem równania
{\displaystyle Tx-\lambda x=0}
jest
{\displaystyle x=0}
. Innymi słowy, równanie
{\displaystyle y=Tx-\lambda x}
ma rozwiązanie dla każdego
{\displaystyle y\in X}
wtedy i tylko wtedy, gdy
{\displaystyle \lambda }
nie jest wartością własną operatora
{\displaystyle T.}
Oznaczając
{\displaystyle S=T-\lambda \cdot I_{X},}
gdzie
{\displaystyle I_{X}}
to operator identycznościowy na
{\displaystyle X,}
powyższe jest równoważne temu, że
-
operator
{\displaystyle S}
jest suriektywny,
-
operator
{\displaystyle S}
nie jest różnowartościowy.
Dowód
Rozpatrzmy przypadek, gdy
{\displaystyle \lambda }
nie jest wartością własną operatora
{\displaystyle T\colon X\to X.}
W tym przypadku istnieje taka liczba
{\displaystyle c>0,}
że operator
{\displaystyle T-\lambda \cdot I_{X}}
jest ograniczony z dołu przez
{\displaystyle c,}
tj.
{\displaystyle \|Tx-\lambda x\|\geqslant c\|x\|\quad (x\in X).}
Rzeczywiście, z uwagi na dodatnią jednorodność normy wystarczy wykazać powyższe stwierdzenie dla wektorów o normie 1. Gdyby tak nie było, istniałby ciąg wektorów jednostkowych
{\displaystyle (x_{n})}
w
{\displaystyle X,}
że ciąg
{\displaystyle (Tx_{n}-\lambda x_{n})}
jest zbieżny do zera. Ponieważ
{\displaystyle \|\lambda x_{n}\|=|\lambda |,}
infimum norm elementów
{\displaystyle y_{n}=Tx_{n}}
jest dodatnie. Ponieważ operator
{\displaystyle T}
jest zwarty, ciąg
{\displaystyle (y_{n})}
ma podciąg
{\displaystyle (y_{n_{k}})}
zbieżny do pewnego niezerowego elementu
{\displaystyle y\in X.}
Z uwagi na to, że ciąg
{\displaystyle (Tx_{n}-\lambda x_{n})}
jest zbieżny do zera, ciąg
{\displaystyle (Ty_{n_{k}}-\lambda y_{n_{k}})}
jest również zbieżny do zera, a więc z ciągłości,
{\displaystyle Ty-\lambda y=0,}
co przeczy temu, że
{\displaystyle \lambda }
nie jest wartością własną
{\displaystyle T.}
Ponieważ operator
{\displaystyle T-\lambda \cdot I_{X}}
jest ograniczony z dołu, jest on izomorfizmem na swój obraz. By udowodnić, że dla każdego
{\displaystyle y\in X}
istnieje takie
{\displaystyle x\in X,}
że
{\displaystyle y=Tx-\lambda x,}
należy uzasadnić, że cała przestrzeń
{\displaystyle X}
jest obrazem operatora
{\displaystyle T-\lambda \cdot I_{X}.}
Gdyby tak nie było, to dla każdej liczby naturalnej
{\displaystyle m}
podprzestrzeń
{\displaystyle X_{m}}
będąca obrazem operatora
{\displaystyle (T-\lambda \cdot I_{X})^{m}}
byłaby właściwa (i domknięta). Z lematu Riesza wynikałoby istnienie takich wektorów
{\displaystyle x_{m}}
w
{\displaystyle X}
o normie 1, że odległość
{\displaystyle x_{m}}
od
{\displaystyle X_{m}}
wynosi co najmniej 1/2.
Niech
{\displaystyle m będą liczbami naturalnymi. Wówczas {\displaystyle Tx_{n}-\lambda x_{n},} jak i {\displaystyle Tx_{m}} należą do {\displaystyle X_{m+1},} tj. {\displaystyle Tx_{m}-Tx_{n}\in \lambda x_{m}+X_{m+1}.} Ponieważ odległość między {\displaystyle x_{m}} od {\displaystyle X_{m}} wynosi co najmniej 1/2 zachodzi oszacowanie {\displaystyle \|Tx_{m}-Tx_{n}\|\geqslant {\frac {|\lambda |}{2}},} które przeczy zwartości {\displaystyle T,} gdyż ciąg {\displaystyle (Tx_{n})} nie ma podciągu zbieżnego. Rozpatrzmy przypadek, kiedy {\displaystyle \lambda } jest wartością własną operatora {\displaystyle T\colon X\to X} implikuje, że operator {\displaystyle T-\lambda \cdot I_{X}} nie jest różnowartościowy ponieważ (niezerowa) wartość własna odpowiadająca {\displaystyle \lambda } należy do jego jądra. W tym wypadku obrazem operatora {\displaystyle T-\lambda \cdot I_{X}} nie może być cała przestrzeń {\displaystyle X} (tj. operator ten nie jest suriektywny). Istotnie, z twierdzenia Schaudera o operatorze sprzężonym wynika, że operator {\displaystyle T^{*}} jest również zwarty. Ponadto {\displaystyle (T-\lambda \cdot I_{X})^{*}=T^{*}-\lambda \cdot I_{X^{*}}.} Gdyby {\displaystyle T-\lambda \cdot I_{X}} był suriektywny, operator {\displaystyle T^{*}-\lambda \cdot I_{X^{*}}} byłby różnowartościowy, tj. w szczególności {\displaystyle \lambda } nie byłaby jego wartością własną. Z udowodnionej wyżej implikacji wynikałoby, że operator {\displaystyle T^{*}-\lambda \cdot I_{X^{*}}} byłby w tym wypadku suriektywny. Oznaczałoby to, że operator {\displaystyle T^{}-\lambda \cdot I_{X^{}}} jest różnowartościowy. Jest to jednak sprzeczność, ponieważ: {\displaystyle \kappa _{X}(T-\lambda \cdot I_{X})={\big (}T^{}-\lambda \cdot I_{X^{}}{\big )}|_{\kappa _{X}(X)},} gdzie {\displaystyle \kappa _{X}\colon X\to X^{}} oznacza kanoniczne włożenie w drugą przestrzeń sprzężoną. Pod pojęciem alternatywy Fredholma niektórzy rozumieją następujące twierdzenie, które opisuje wymiar jądra operatora {\displaystyle I_{X}-T} z jego obrazem dla operatora zwartego {\displaystyle T\colon X\to X} na przestrzeni Banacha {\displaystyle X} . Niech {\displaystyle T\colon X\to X} będzie operatorem zwartym na zespolonej przestrzeni Banacha {\displaystyle X.} Wówczas: jądro operatora {\displaystyle I_{X}-T} jest skończenie wymiarowe, obraz operatora {\displaystyle I_{X}-T} jest domknięty, ponadto operator {\displaystyle I_{X}-T} jest różnowartościowy wtedy i tylko wtedy, gdy jest on suriektywny (tj. jego obrazem jest cała przestrzeń {\displaystyle X}), {\displaystyle dim \ker(I_{X}-T) = dim \ker(I_{X^{*}}-T^{*}).} Haim Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011. L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2. Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vincente Montesinos Santalucía, Jan Pelant, Václav Zizler, Functional Analysis and Infinite-dimensional Geometry, CMS Books in Mathematics, 8, New York: Springer-Verlag (2001), ISBN 0-387-95219-5.Wersja ogólna
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia
