Alternatywa w logice
Termin alternatywa, znany również jako suma logiczna, obejmuje różne formy, takie jak alternatywa zwykła, alternatywa nierozłączna oraz alternatywa łączna. Jest to zdanie logiczne wyrażone w postaci p lub q, gdzie p oraz q to zdania. W logice matematycznej alternatywę przedstawia się za pomocą zapisu:
p
∨
q
.
{\displaystyle p\,\lor \,q.}
Alternatywa p lub q jest uznawana za zdanie prawdziwe, gdy przynajmniej jedno z jej składników, p lub q, jest prawdziwe.
W logice matematycznej
Definicja alternatywy (suma logiczna):
To działanie dwuargumentowe, które można zdefiniować w dowolnym zbiorze zdań lub zbiorze funkcji zdaniowych. Przypisuje ono zdaniom (funkcjom zdaniowym) p oraz q wartość prawdziwą tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno z tych zdań jest prawdziwe.
p
{\displaystyle p}
i
q
{\displaystyle q}
Dwuargumentowy spójnik zdaniowy, oznaczany jako
p
∨
q
{\displaystyle p\,\lor \,q}
(łac. p vel q) ma znaczenie odpowiadające wyżej zdefiniowanemu działaniu w zbiorze
A
∋
p
,
q
.
{\displaystyle A\ni p,q.}
W odróżnieniu od wcześniejszej definicji, ta jest określona na poziomie syntaktycznym, co pozwala uniknąć potrzeby definiowania jej dziedziny.
Zdanie logiczne w postaci
p
∨
q
,
{\displaystyle p\,\lor \,q,}
gdzie p i q to zdania, jest ściśle związane z dodawaniem zbiorów (zobacz algebra zbiorów). Dlatego zdanie stworzone z innych zdań przy użyciu alternatywy nazywane jest również sumą logiczną. Składniki p oraz q są określane jako składniki alternatywy.
Alternatywa jest prawdziwa, jeśli przynajmniej jeden z jej składników jest prawdziwy. W przeciwnym razie jest fałszywa.
gdzie: 1 – zdanie prawdziwe; 0 – zdanie fałszywe
Notacja
Symbolika alternatywy różni się w zależności od autorów:
W językach programowania, alternatywa często oznaczana jest spójnikiem OR. W języku C/C++ i jego pochodnych używa się zapisu „||”.
Przykłady
Przykład alternatywy: 12 dzieli się przez 3 lub Madryt jest stolicą Hiszpanii jest prawdziwy, ponieważ oba składniki są prawdziwe.
Inny przykład:
10
>
12
lub
10
<
11
{\displaystyle 10>12{\mbox{ lub }}10<11}
jest prawdziwa, ponieważ jeden z jej składników jest prawdziwy (10 jest mniejsze niż 11).
Przykład alternatywy: Kraków leży nad Odrą lub Wisła nie płynie w Polsce jest fałszywy, ponieważ oba składniki są fałszywe.
Własności
Alternatywa ma następujące właściwości:
- Przemienność:
- Łączność:
- Idempotentność:
- Rozdzielność względem koniunkcji (i odwrotnie):
- Prawa De Morgana:
p
∨
q
=
q
∨
p
{\displaystyle p\,\lor \,q=q\,\lor \,p}
p
∨
(
q
∨
r
)
=
(
p
∨
q
)
∨
r
{\displaystyle p\,\lor \,(q\,\lor \,r)=(p\,\lor \,q)\,\lor \,r}
p
∨
p
⇔
p
{\displaystyle p\,\lor \,p\,\Leftrightarrow \,p}
p
∧
(
q
∨
r
)
⇔
(
p
∧
q
)
∨
(
p
∧
r
)
{\displaystyle p\,\land \,(q\,\lor \,r)\,\Leftrightarrow \,(p\,\land \,q)\,\lor \,(p\,\land \,r)}
p
∨
(
q
∧
r
)
⇔
(
p
∨
q
)
∧
(
p
∨
r
)
{\displaystyle p\,\lor \,(q\,\land \,r)\,\Leftrightarrow \,(p\,\lor \,q)\,\land \,(p\,\lor \,r)}
¬
(
p
∨
q
)
⇔
(
¬
p
∧
¬
q
)
{\displaystyle \neg \,(p\,\lor \,q)\Leftrightarrow (\neg \,p\,\land \,\neg \,q)}
¬
(
p
∧
q
)
⇔
(
¬
p
∨
¬
q
)
{\displaystyle \neg \,(p\,\land \,q)\Leftrightarrow (\neg \,p\,\lor \,\neg \,q)}
Negacja alternatywy jest równoważna koniunkcji negacji, natomiast negacja koniunkcji odpowiada alternatywie negacji.
W języku naturalnym
Potoczne znaczenie słowa alternatywa odnosi się do wyboru pomiędzy dwiema wykluczającymi się możliwościami. To pojęcie pokrywa się z matematycznym rozumieniem alternatywy rozłącznej, a nie klasycznej alternatywy przedstawianej w logice matematycznej.
Zobacz też
- decyzja
- koniunkcja
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
Mirosław Bańko: alternatywa. [w:] Poradnia językowa [on-line]. PWN, 2002. [dostęp 2016-10-14].
MaciejM. Malinowski: Czy menedżer to menażer?, [w:] Obcy język polski [online], 2002 [dostęp 2016-10-14] [zarchiwizowane z adresu 2016-08-02].
Andrzej Stanisław Mostowski: Logika matematyczna. Warszawa: 1948, seria: Monografie matematyczne t. 18. OCLC 250092935.
Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
Alternatywa. [w:] Słownik języka polskiego [on-line]. PWN, 1997–2014. [dostęp 2012-03-30].
Linki zewnętrzne
MariaM. Aloni: Disjunction, [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy, CSLI, Stanford University, 26 marca 2016, ISSN 1095-5054 [dostęp 2020-01-23] (ang.).
