Algorytm linearyzacji statycznej
Algorytm linearyzacji statycznej jest jednym z narzędzi stosowanych do sterowania manipulatorem elastycznym. Umożliwia on przekształcenie nieliniowego układu w układ o charakterystyce poczwórnego integratora.
Model
Model manipulatora wyrażony jest w następujący sposób:
{\displaystyle M_{1}q_{1}^{”}+Cq_{1}^{’}+D_{1}+K(q_{1}-q_{2})=0}
{\displaystyle Iq_{2}^{”}+K(q_{2}-q_{1})=u}
Równoważny opis obiektu
Model przedstawiony powyżej można również zapisać w innej formie, wprowadzając nowe zmienne:
{\displaystyle x_{1}=q_{1},}
{\displaystyle x_{2}=q_{1}^{’} ,}
{\displaystyle x_{3}=q_{2},}
{\displaystyle x_{4}=q_{2}^{’} ,}
Dla tych zmiennych oblicza się ich pochodne:
{\displaystyle x_{1}^{’}=x_{2}}
{\displaystyle x_{2}^{’}=F(x_{1},x_{2})+H_{1}(x_{1})x_{3}}
{\displaystyle x_{3}^{’}=x_{4}}
{\displaystyle x_{4}^{’}=H_{2}(x_{1},x_{3})+I^{-1}u.}
Zmiana współrzędnych
Następnie wprowadza się współrzędne linearyzujące:
{\displaystyle \xi _{1}=x_{1},}
{\displaystyle \xi _{2}=x_{2},}
{\displaystyle \xi _{3}=F(x_{1},x_{2})+H_{1}(x_{1})x_{3},}
{\displaystyle \xi _{4}=H_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})+H_{1}(x_{1})x_{4}.}
Odpowiednie pochodne dla tych zmiennych są następujące:
{\displaystyle \xi _{1}^{’}=x_{2}=\xi _{2},}
{\displaystyle \xi _{2}^{’}=\xi _{3},}
{\displaystyle \xi _{3}^{’}=\xi _{4},}
{\displaystyle \xi _{4}^{’}=H_{4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})+H_{1}(x_{1})I^{-1}u.}
Sprzężenie statyczne
Na końcu wprowadza się sprzężenie, które ma na celu eliminację nieliniowości z wyrażenia dla
{\displaystyle \xi _{4}^{’}=I K^{-1}M_{1}^{-1}[-H_{4}+v],}
gdzie v to nowa forma sterowania. W efekcie uzyskuje się układ zapisany jako:
{\displaystyle \xi _{1}^{’}=\xi _{2}=\xi _{2},}
{\displaystyle \xi _{2}^{’}=\xi _{3},}
{\displaystyle \xi _{3}^{’}=\xi _{4},}
{\displaystyle \xi _{4}^{’}=v.}
Jest to zatem poczwórny integrator, składający się z czterech modułów całkujących.
Śledzenie trajektorii
Głównym celem układu jest śledzenie określonej trajektorii, co oznacza, że:
{\displaystyle e=q_{1}-q_{1d}\to 0.}
Po zastosowaniu odpowiedniego sterowania v uzyskuje się warunek na eksponencjalną zbieżność błędu do zera:
{\displaystyle e^{(4)}+K_{3}e^{(3)}+K_{2}e^{(2)}+K_{1}e^{(1)}+K_{0}e=0.}
W tym przypadku wartości K są ustalane na podstawie twierdzenia Hurwitza.
Zobacz też
Algorytm całkowania wstecznego
Bibliografia
K.Tchoń, A.Mazur, I.Dulęba, R.Hossa, R.Muszyński, Manipulatory i roboty mobilne. Modele, planowanie ruchu, sterowanie, Warszawa 2000 (ISBN 83-7101-427-9).
