Algorytm całkowania wstecznego – metoda sterowania manipulatorem elastycznym.
Model
Model manipulatora jest zapisany w następujący sposób:
{\displaystyle M_{1}q_{1}^{”}+Cq_{1}^{’}+D_{1}+K(q_{1}-q_{2})=0,}
{\displaystyle Iq_{2}^{”}+K(q_{2}-q_{1})=u.}
Nowe współrzędne
Podobnie jak w przypadku algorytmu linearyzacji statycznej, wprowadza się nowe współrzędne:
{\displaystyle x_{1}=q_{1},}
{\displaystyle x_{2}=q_{1}^{’},}
{\displaystyle x_{3}=q_{2},}
{\displaystyle x_{4}=q_{2}^{’},}
Oprócz tego dodaje się współrzędne związane z trajektorią:
{\displaystyle x_{1d}=q_{1d},}
{\displaystyle x_{2d}=q_{1d}^{’},}
{\displaystyle x_{3d}=q_{2d},}
{\displaystyle x_{4d}=q_{2d}^{’},}
Najpierw przekształca się model manipulatora, aby wyodrębnić:
{\displaystyle q_{2},}
następnie przedstawia go w postaci zawierającej współrzędne zadane:
{\displaystyle M_{1}q_{1d}^{”}+Cq_{1d}^{’}+D_{1}+Kq_{1d}=Kq_{2d},}
gdzie:
{\displaystyle q_{2d}=K^{-1}M_{1}q_{1d}^{”}+K^{-1}Cq_{1d}^{’}+K^{-1}D_{1}+q_{1d}.}
Na końcu wyznacza się wzory na błąd oraz prędkość błędu:
{\displaystyle x_{i}-x_{id}=e_{i},}
gdzie
{\displaystyle i=1,2,3,4.}
oraz:
{\displaystyle e_{1}^{’}=e_{2},}
{\displaystyle e_{2}^{’}=F_{4}(e_{1},e_{2},t)+F_{2}(e_{1},t)e_{3},}
{\displaystyle e_{3}^{’}=e_{4},}
{\displaystyle e_{4}^{’}=F_{5}(e_{1},e_{3},t)+I^{-1}u.}
Sterowanie
Z powyższego wynika, że steruje się błędami, a nie wartością położeń, co jest najbardziej problematyczną częścią algorytmu. Proces ten wykonuje się w czterech krokach, a poniżej przedstawiony jest tylko pierwszy krok oraz rozwiązania poszczególnych etapów.
Układ traktuje się jako strukturę kaskadową, dlatego obliczenia zaczyna się od pierwszego błędu:
{\displaystyle e_{1}^{’}=e_{2}.}
Aby błąd zmniejszał się do zera, wymagane jest spełnienie warunku:
{\displaystyle e_{1}^{’}<0.}
W związku z tym najlepszym rozwiązaniem jest:
{\displaystyle e_{1}^{’}=-R_{0}e_{1},}
gdzie
{\displaystyle R_{0}>0.}
Następnie konstruuje się funkcję Lapunowa:
{\displaystyle V_{1}(e_{1})={\frac {1}{2}}e_{1}^{T}e_{1}}
i wyznacza się jej pochodną:
{\displaystyle V_{1}^{’}(e_{1})=-e_{1}^{T}R_{0}e_{1},}
co oznacza, że pochodna będzie mniejsza lub równa zero, co prowadzi do globalnej eksponencjalnej stabilności.
W kroku drugim rozpatrywane są pierwsze oraz drugie równanie:
{\displaystyle e_{1}^{’}=e_{2},}
{\displaystyle e_{2}^{’}=F_{4}+F_{2}e_{3}.}
Od tego momentu konstruowane będą jedynie funkcje Lapunowa w postaci sumy poprzedniej funkcji oraz nowej formy kwadratowej.
{\displaystyle V_{2}(e_{1},e_{2})=V_{1}(e_{1})+{\frac {1}{2}}(e_{2}+R_{0}e_{1})^{T}(e_{2}+R_{0}e_{1}).}
Uzyskuje się wzór na trzeci błąd:
{\displaystyle e_{3}=F_{2}^{-1}(-R_{1}e_{2}-R_{1}R_{0}e_{1}-F_{4}-R_{0}e_{2})=-H(e_{1},e_{2},t).}
W kroku trzecim wyznaczany jest wzór na:
{\displaystyle e_{4}=-R_{2}(e_{3}+H)-H’.}
W kroku czwartym i ostatnim poszukiwane jest sterowanie:
{\displaystyle u=-IF_{5}-IH_{2}^{’}-IR_{3}(e_{4}+H_{2}).}
Wystarczy rozwinąć wzór do pełnej postaci, aby uzyskać przepis na sterowanie manipulatorem elastycznym. Dowód stabilności rozwiązania opiera się na lemacie Barbalata.
Zobacz też
algorytm linearyzacji statycznej
Bibliografia
K. Tchoń, A. Mazur, I. Dulęba, R. Hossa, R. Muszyński, Manipulatory i roboty mobilne. Modele, planowanie ruchu, sterowanie, Warszawa 2000, ISBN 83-7101-427-9.