Iloczyn zewnętrzny
Iloczyn zewnętrzny to konstrukcja algebraiczna, która jest stosowana w geometrii do analizy powierzchni, objętości oraz ich analogów w wyższych wymiarach. Iloczyn zewnętrzny dwóch wektorów u i v oznaczany jest jako u ∧ v i nazywany jest biwektorem. Biwektor ten znajduje się w przestrzeni znanej jako zewnętrzny kwadrat, która jest odmienna od pierwotnej przestrzeni wektorowej. Wartość tego iloczynu odpowiada powierzchni równoległoboku, którego boki to wektory u oraz v. W przypadku trzech wymiarów, można go wyznaczyć jako wartość iloczynu wektorowego wektorów u i v.
Podobnie jak iloczyn wektorowy, iloczyn zewnętrzny charakteryzuje się właściwością antyprzemienności, co oznacza, że:
u ∧ v = -(v ∧ u).
W przeciwieństwie do iloczynu wektorowego, iloczyn zewnętrzny jest łączny, co można zapisać jako:
(u ∧ v) ∧ w = u ∧ (v ∧ w).
Biwektor można zatem wyobrazić sobie jako zbiór równoległoboków umiejscowionych w tej samej płaszczyźnie, które mają identyczną powierzchnię oraz orientację – zgodną lub przeciwną do kierunku ruchu wskazówek zegara.
Z definicji wynika, że na przykład:
u ∧ v = 0,
jeżeli wektory u i v są równoległe.
Przykład
Pole elementu na płaszczyźnie
(1) Płaszczyzna R2 jest 2-wymiarową przestrzenią wektorową, której bazę stanowią dwa wektory:
e1 = [1, 0], e2 = [0, 1].
Niech dane będą dwa wektory w R2:
v = [a, b] = ae1 + be2,
w = [c, d] = ce1 + de2,
które wyznaczają równoległobok o bokach v oraz w. Powierzchnia tego równoległoboku jest określona wzorem:
Area = |det [v, w]| = |det [a, c; b, d]| = |ad – bc|.
(2) Obliczmy teraz iloczyn zewnętrzny wektorów v oraz w:
v ∧ w = (ae1 + be2) ∧ (ce1 + de2)
= ace1 ∧ e1 + ade1 ∧ e2 + bce2 ∧ e1 + bde2 ∧ e2
= (ad – bc)e1 ∧ e2.
W pierwszym kroku zastosowano prawo rozdzielności iloczynu zewnętrznego, a w ostatnim kroku skorzystano z faktu, że e2 ∧ e1 = -(e1 ∧ e2).
(Z tego wynika, że e1 ∧ e1 = e2 ∧ e2 = 0).
Współczynnik w ostatnim wyrażeniu jest równy wyznacznikowi macierzy [v, w]. Fakt, że może on być dodatni lub ujemny, oznacza, że zależy od kolejności mnożonych wektorów v oraz w, co może wyznaczać orientację powierzchni. Taką powierzchnię nazywamy powierzchnią zorientowaną: wartość iloczynu odpowiada wielkości powierzchni, zaś znak określa orientację.
Jeżeli A(v, w) jest powierzchnią zorientowaną rozpiętą przez wektory v oraz w, to A ma następujące właściwości:
- A(jv, kw) = jkA(v, w) dla dowolnych liczb rzeczywistych j oraz k, ponieważ przeskalowanie boków zmienia wielkość równoległoboku oraz orientację, gdy mnożymy wektor przez liczbę ujemną.
- A(v, v) = 0, ponieważ powierzchnia zdegenerowanego równoległoboku wynosi 0.
- A(w, v) = -A(v, w), ponieważ zmiana kolejności wektorów zmienia znak.
- A(v + jw, w) = A(v, w) dla dowolnych j, ponieważ dodanie wielokrotności wektora w do v nie zmienia ani podstawy, ani wysokości równoległoboku.
- A(e1, e2) = 1, ponieważ pole jednostkowego kwadratu wynosi 1.
W pewnym sensie iloczyn zewnętrzny uogólnia pojęcie powierzchni, umożliwiając porównywanie powierzchni dowolnych elementów w przestrzeni z powierzchnią jednostkowego kwadratu. Innymi słowy, iloczyn zewnętrzny zapewnia niezależne od układu współrzędnych pojęcie pola powierzchni oraz metodę jej obliczania.
Iloczyn zewnętrzny
Iloczyn zewnętrzny jest operacją służącą do tworzenia wielowektorów. Działanie to jest:
- liniowe: u ∧ (αv + βw) = αu ∧ v + βu ∧ w,
- łączne: (u ∧ v) ∧ w = u ∧ (v ∧ w) = u ∧ v ∧ w,
- alternujące: u ∧ v = –v ∧ u, u ∧ u = 0.
gdzie u, v oraz w są wektorami w V, a α oraz β to skalary. Iloczyn p wektorów nazywany jest wielowektorem stopnia p lub p-wektorem. Maksymalny stopień wielowektorów odpowiada wymiarowi przestrzeni wektorowej V.
Liniowość iloczynu zewnętrznego umożliwia definiowanie wielowektorów jako kombinacje liniowe wielowektorów bazowych. Istnieje {\binom {n}{p}} p-wektorów w n-wymiarowej przestrzeni wektorowej.
Wielowektor
Wielowektor (nazywany także liczbą Clifforda) jest podstawowym elementem algebry zewnętrznej. Jeżeli V jest przestrzenią n-wymiarową, k-wektorem nazywa się obiekt o postaci:
v1 ∧ … ∧ vk, gdzie v1, …, vk są wektorami w przestrzeni V.
Zobacz też
forma różniczkowa
Przypisy
Bibliografia
W. Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.
Roger Penrose, Droga do rzeczywistości, Prószyński i S-ka, Warszawa 2010.
Linki zewnętrzne
Exterior algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
