Algebra wolna to rozszerzenie definicji pierścienia wielomianów na nieprzemienne struktury algebraiczne.
Definicja
Niech
K
{\displaystyle K}
będzie zbiorem algebr ogólnych tego samego typu, a
A
∈
K
.
{\displaystyle A\in K.}
Podzbiór
S
⊆
A
{\displaystyle S\subseteq A}
nazywamy zbiorem wolnych generatorów algebry
A
{\displaystyle A}
w klasie
K
{\displaystyle K}
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego przekształcenia
f
:
S
→
B
∈
K
{\displaystyle f\colon S\to B\in K}
istnieje dokładnie jeden homomorfizm
h
:
A
→
B
,
{\displaystyle h\colon A\to B,}
taki, że
h
|
S
=
f
.
{\displaystyle h|_{S}=f.}
Jeśli dla danej algebry
A
{\displaystyle A}
istnieje zbiór wolnych generatorów w klasie
K
,
{\displaystyle K,}
to nazywamy ją algebrą wolną w klasie
K
.
{\displaystyle K.}
Innymi słowy, zbiór wolnych generatorów algebry to taki podzbiór, że każde jego przekształcenie w inną algebrę tego samego typu można jednoznacznie przedłużyć do homomorfizmu na całą algebrę.
Własności
Jeśli
K
{\displaystyle K}
jest klasą algebr, a
S
{\displaystyle S}
jest zbiorem wolnych generatorów algebry
A
{\displaystyle A}
w klasie
K
,
{\displaystyle K,}
to
S
{\displaystyle S}
generuje algebrę
A
,
{\displaystyle A,}
co oznacza, że
A
{\displaystyle A}
jest najmniejszą algebrą w sensie inkluzji, która zawiera zbiór
S
.
{\displaystyle S.}
Jeśli
K
{\displaystyle K}
jest klasą algebr, a
S
1
,
S
2
{\displaystyle S_{1},S_{2}}
są zbiorami wolnych generatorów algebr
A
1
,
A
2
{\displaystyle A_{1},A_{2}}
w klasie
K
,
{\displaystyle K,}
to każde przekształcenie
f
:
S
1
→
S
2
{\displaystyle f\colon S_{1}\to S_{2}}
można jednoznacznie przedłużyć do homomorfizmu
h
:
A
1
→
A
2
.
{\displaystyle h\colon A_{1}\to A_{2}.}
Homomorfizm
h
{\displaystyle h}
jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy
f
{\displaystyle f}
jest bijekcją.
Jeśli
A
1
,
A
2
{\displaystyle A_{1},A_{2}
są algebrami wolnymi w
K
{\displaystyle K}
oraz ich zbiory wolnych generatorów są równoliczne, to algebry te są izomorficzne.
Przykłady
Przykładem algebry wolnej jest grupa wolna. Każda podgrupa grupy wolnej również stanowi grupę wolną.
Baza przestrzeni liniowej stanowi zbiór wolnych generatorów (zgodnie z twierdzeniem o przekształceniu liniowym zadanym na bazie) – innymi słowy, przestrzenie liniowe są modułami wolnymi nad ciałami.
Bibliografia
Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987. Brak numerów stron w książce
Linki zewnętrzne
Free algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
