Algebra wieloliniowa

Algebra wieloliniowa to gałąź matematyki, która rozwija metody algebry liniowej. Podobnie jak algebra liniowa bazuje na pojęciu wektora i rozwija teorie przestrzeni wektorowych, tak algebra wieloliniowa opiera się na koncepcji p-wektorów, wielowektorów oraz algebry Grassmanna.

Początki

W przestrzeni wektorowej o wymiarze n zajmujemy się jedynie wektorami. Zdaniem Hermanna Grassmanna i innych, takie założenie pomija złożoność analizy jedno-, dwu- i ogólnie wielowektorów. Istnieje wiele możliwości kombinacyjnych, co sprawia, że przestrzeń wielowektorów ma wymiar 2n. Abstrakcyjna forma wyznacznika ma swoje najbardziej oczywiste zastosowanie. Algebra wieloliniowa znajduje również zastosowanie w mechanice, badając odpowiedzi materiałów na naprężenie i odkształcenie z różnymi współczynnikami elastyczności. To praktyczne odniesienie doprowadziło do wprowadzenia terminu tensor do opisu elementów w przestrzeni wieloliniowej. Dodatkowa struktura w tej przestrzeni czyni ją ważnym narzędziem w różnych badaniach matematyki wyższej. Chociaż Grassmann rozpoczął temat w 1844 roku w swoim dziele Ausdehnungslehre, które opublikował ponownie w 1862 roku, jego praca nie zyskała szybko uznania, ponieważ wówczas zwykła algebra liniowa dostarczała wystarczająco dużo wyzwań do zrozumienia.

Zagadnienia algebry wieloliniowej są wykorzystywane w badaniach rachunku różniczkowego i całkowego dla wielu zmiennych oraz rozmaitości, gdzie istotna jest macierz Jacobiego. Rachunek różniczkowy dla pojedynczej zmiennej staje się formą różniczkową w rachunku dla wielu zmiennych, a operacje na nich są realizowane metodami algebry zewnętrznej.

Kontynuatorami Grassmanna w rozwijaniu algebry wieloliniowej byli Victor Schlegel, który w 1872 roku opublikował pierwszy tom System der Raumlehre, oraz Elwin Bruno Christoffel. Kluczowy postęp w rozwoju algebry wieloliniowej przyniosły prace Gregorio Ricciego-Curbastro oraz Tullio Leviego-Civity. Marcel Grossmann i Michele Besso zaprezentowali teorię „absolutnego rachunku różniczkowego” (autorstwa Ricciego) Albertowi Einsteinowi. Publikacja Einsteina z 1915 roku, która wyjaśniała precesję peryhelium Merkurego, ustanowiła algebrę liniową oraz tensory jako kluczowe narzędzia matematyczne w fizyce.

Zastosowanie w topologii algebraicznej

W połowie XX wieku badania nad tensorami przybrały bardziej abstrakcyjny charakter. Traktat grupy Bourbaki pt. Multilinear Algebra miał szczególny wpływ, prawdopodobnie z tego źródła pochodzi termin algebra wieloliniowa.

Jednym z powodów wzrastającego zainteresowania algebrą wieloliniową był nowy obszar zastosowań – algebra homologiczna. Rozwój topologii algebraicznej w latach 40. XX wieku stanowił dodatkowy impuls dla czysto algebraicznego podejścia do iloczynu tensorowego. Obliczanie grup homologicznych iloczynu dwóch przestrzeni wymaga użycia iloczynu tensorowego; jedynie w najprostszych przypadkach, takich jak torus, można go bezpośrednio obliczać w ten sposób (zob. teoria Künnetha). Zjawiska topologiczne były na tyle subtelne, że wymagały lepszego zrozumienia podstawowych koncepcji – pojawiła się potrzeba zdefiniowania funktorów Tor.

Materiał do opracowania był dość szeroki, obejmujący idee zapoczątkowane przez Hermanna Grassmanna, koncepcje z teorii form różniczkowych, które doprowadziły do powstania kompleksu de Rhama, a także bardziej elementarne koncepcje, takie jak iloczyn klinowy, który jest uogólnieniem iloczynu wektorowego.

Grupa Bourbaki w swoim poważnym omówieniu całkowicie odrzuciła jedno podejście w rachunku wektorowym (drogę kwaternionów, co jest ogólnym przypadkiem, związanym z grupami Liego). Zamiast tego zastosowano nowatorskie podejście teoriokategoryczne, a podejście do grupy Liego traktowano jako osobny problem. Dzięki temu uzyskano bardziej klarowne spojrzenie na zagadnienie, co sprawia, że powrót do dawnych metod jest mało prawdopodobny. (Ścisłe ujmowanie odnosi się do własności uniwersalnej; jest ona bardziej ogólna niż teoria kategorii, a jednocześnie relacje między nimi można interpretować jako alternatywne podejścia).

W rzeczywistości celem było dokładne wyjaśnienie, że przestrzenie tensorowe są konstrukcjami wymaganymi do redukcji problemów wieloliniowych do rzędu problemów liniowych. Za tym czysto algebraicznym podejściem nie stoi żadna intuicja geometryczna.

Poprzez ponowne sformułowanie zagadnień w kategoriach algebry wieloliniowej, powstaje oczywisty i dobrze zdefiniowany „złoty środek”: ograniczenia narzucone przez rozwiązania są dokładnie tymi, które są potrzebne w praktyce. Generalizując, nie ma potrzeby odwoływania się do konstrukcji ad hoc, koncepcji geometrycznych czy układów współrzędnych. Mówiąc językiem teorii kategorii, wszystko jest całkowicie naturalne.

Wnioski w podejściu abstrakcyjnym

W zasadzie podejście abstrakcyjne może odnowić osiągnięcia podejścia tradycyjnego. W praktyce nie jest to takie proste. Z drugiej strony pojęcie naturalności jest spójne z zasadą ogólnej kowariancji w ogólnej teorii względności. Ta ostatnia dotyczy pól tensorowych (tensorów różniących się w różnych punktach rozmaitości), a kowariancja utrzymuje, że nomenklatura tensorów jest istotna dla poprawnego wyrażenia ogólnej teorii względności.

Kilka dekad później abstrakcyjny punkt widzenia oparty na teorii kategorii został powiązany z podejściem rozwiniętym w latach 30. przez Hermanna Weya (poprzez prace nad ogólną teorią względności i abstrakcyjną analizę tensorową). W pewnym sensie teoria zatoczyła pełne koło, łącząc ponownie istotę zarówno starych, jak i nowych poglądów.

Zagadnienia algebry wieloliniowej

przekształcenie dwuliniowe
wzory Cramera
przestrzeń podwójna
notacja Einsteina
algebra zewnętrzna
pochodna zewnętrzna
iloczyn wewnętrzny
delta Kroneckera
symbol Leviego-Civity
tensor metryczny
tensor mieszany
mapa wieloliniowa
algebra symetryczna
tensor symetryczny
tensor
algebra tensorowa, wolna algebra
przyciąganie tensorów

Zastosowania

Przykładowe zastosowania koncepcji algebry wieloliniowej:

klasyczne potraktowanie tensorów
tensory diadyczne
notacja bra-ket
algebra geometryczna
algebra Clifforda
pseudoskalar
pseudowektor
spinor
iloczyn zewnętrzny
liczby hiperzespolone
uczenie podprzestrzeni wieloliniowych

Bibliografia

Hermann Grassmann (2000) Extension Theory, American Mathematical Society. Tłumaczenie autorstwa Lloyd Kannenberg z 1862 roku Ausdehnungslehre.

Wendell H. Fleming (1965) Functions of Several Variables, Addison-Wesley.

Drugie wydanie (1977) Springer ISBN 3-540-90206-6.

Rozdział: Algebra zewnętrzna i rachunek różniczkowy # 6 w 1. wydaniu, # 7 w 2. wydaniu.

Ronald Shaw (1983) „Multilinear algebra and group representations”, tom 2 Linear Algebra and Group Representations, Academic Press ISBN 0-12-639202-1.