Algebra von Neumanna

Algebra von Neumanna (znana także jako W*-algebra) to *-podalgebra C*-algebry operatorów ograniczonych B(H) na pewnej przestrzeni Hilberta H, która jest domknięta w słabej topologii operatorowej. Domkniętość w tej topologii zapewnia także domkniętość względem normy w B(H), co oznacza, że każda algebra von Neumanna jest jednocześnie C*-algebrą.

Teoria algebr von Neumanna rozpoczęła się na przełomie lat dwudziestych XX wieku dzięki Johnowi von Neumannowi i Francisowi Murrayowi, którzy używali określenia pierścienie operatorowe. Ich prace miały na celu sformalizowanie języka mechaniki kwantowej. Termin „algebra von Neumanna” po raz pierwszy pojawił się w książce Dixmiera, chociaż on sam przypisuje go Dieudonnému. W literaturze termin ten bywa stosowany zamiennie z pojęciem W*-algebra (od ang. weakly closed *-algebra). Niektórzy autorzy, tacy jak Takesaki, wprowadzają rozróżnienie, nazywając W*-algebrą C*-algebrę A, która posiada wierną (rzeczywistą) reprezentację (π, H) na przestrzeni Hilberta H, przy czym obraz π(A) ⊆ B(H) stanowi algebrę von Neumanna w wcześniej zdefiniowanym sensie.

Podstawowe własności

Każda algebra von Neumanna ma jedynkę.
Domknięta kula jednostkowa algebry von Neumanna jest zwarta w słabej topologii operatorowej.
Algebra von Neumanna jest ośrodkowa względem normy, gdy i tylko wtedy, gdy jest skończona wymiarowo.
Każda nieskończenie wymiarowa algebra von Neumanna zawiera nieskończenie wymiarową podalgebrę przemienną, która również jest algebrą von Neumanna.

Twierdzenie von Neumanna o drugim komutancie

Pomimo że definicja algebry von Neumanna wykorzystuje pojęcie słabej topologii operatorowej, jest ona równoważna definicji czysto algebraicznej. Niech H będzie przestrzenią Hilberta. Dla danego podzbioru A ⊆ B(H), symbol A′ oznacza komutant zbioru A, tj. zbiór {x ∈ B(H) : ∀a ∈ A (xa = ax)}. Analogicznie, A″ oznacza drugi komutant zbioru A, tj. komutant komutanta A′.

Niech M będzie pod-*algebrą B(H) zawierającą operator identyczności I. Wówczas następujące warunki są równoważne:

M = M″;
M jest domknięta w słabej topologii operatorowej (tj. M jest algebrą von Neumanna);
M jest domknięta w mocnej topologii operatorowej;
M jest domknięta w topologii ultrasłabej, przy czym topologia ultrasłaba to topologia *-słaba wynikająca z dualności N(H)* = B(H), gdzie N(H) oznacza przestrzeń Banacha operatorów nuklearnych na H.

Różni autorzy stosują wymienione wyżej warunki do definiowania pojęcia algebry von Neumanna.

Przykłady

Każda skończenie wymiarowa C*-algebra oraz algebra operatorów B(H) na dowolnej przestrzeni Hilberta H są oczywistymi przykładami algebr von Neumanna.

Niech μ będzie miarą lokalizowalną (np. miarą σ-skończoną) na przestrzeni mierzalnej X. Wówczas przestrzeń H = L²(μ) jest przestrzenią Hilberta. Na tej przestrzeni operatory mnożenia przez funkcje z L∞(μ), tj. każdej funkcji f ∈ L∞(μ), odpowiadają operatorowi (ograniczonemu) T_f ∈ B(L²(μ)) dany wzorem T_f g = fg. Rodzina wszystkich operatorów mnożenia T_f jest przemienną podalgebrą B(L²(μ)), która jest algebrą von Neumanna.

Można udowodnić, że każda przemienna algebra von Neumanna ma postać L∞(μ) dla pewnej miary lokalizowalnej μ.

Dla dowolnej C*-algebry A ⊆ B(H) jej drugi komutant A″ jest algebrą von Neumanna. Jeśli A jest (może być abstrakcyjną) C*-algebrą, to jej druga przestrzeń sprzężona A (wyposażona w iloczyn Arensa) jest *-izomorficzna z algebrą von Neumanna. Algebra A jest uniwersalną algebrą von Neumanna dla A w następującym sensie: Niech (π, H) będzie reprezentacją A na przestrzeni Hilberta H oraz M(π) oznacza algabrę von Neumanna π(A)”. Istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe Π : A → M(π) o następujących własnościach: π = Πκ, gdzie κ : A → A jest kanonicznym zanurzeniem A w A; Π jest σ(A, A*)-ciągłe; Π(B_{A}) = B_{M(π)}.

W szczególności, jeżeli (π, H) jest uniwersalną reprezentacją algebry A, to A jest *-izomorficzna z π(A)”.

Typy

Algebry von Neumanna dzielą się na trzy główne typy:

Typ I: M jest typu I, gdy jest izomorficzna z algebrą postaci ∏_{j ∈ J} A_j ⊗ ¯B(H_j), gdzie dla każdego j algebra A_j jest przemienną algebrą von Neumanna, a H_j jest pewną przestrzenią Hilberta.
Typ II1: M jest typu II1, gdy nie da się jej rozłożyć na sumę algebr, z których przynajmniej jedna jest typu I, oraz dla każdego 0 < x ∈ M istnieje normalny śladowy stan ϕ ∈ M*, że ϕ(x) > 0.
Typ II∞: M jest typu II∞, gdy nie da się jej rozłożyć na sumę algebr, z których przynajmniej jedna jest typu I lub II1, oraz istnieje rosnąca sieć rzutów (p_i) ⊂ M, zbieżna do 1_M w mocnej topologii operatorowej, o tej własności, że dla każdego i algebra p_i M p_i jest typu II1.
Typ III: M jest typu III, gdy nie jest typu I, II1 ani typu II∞.

Każda algebra von Neumanna M rozkłada się na sumę M = M_I ⊕ M_{II1} ⊕ M_{II∞} ⊕ M_{III}, gdzie każdy z (być może zerowych) jest typu, jaki wskazany jest w indeksie dolnym.