Algebra uniwersalna

Algebra uniwersalna

Algebra uniwersalna to dziedzina matematyki, która bada ogólne struktury algebraiczne, znana także jako algebra ogólna w niektórych publikacjach. Razem z teorią kategorii stanowi fundamenty dla teorii specyfikacji algebraicznych. Kluczowym pojęciem w algebrze uniwersalnej jest pojęcie algebry, często nazywanej algebrą uniwersalną. Jest to zbiór A, który posiada pewien zbiór operacji n-arnych, określany jako sygnatura (oznaczany jako Ω). Każda struktura algebraiczna, taka jak grupoid, półgrupa, grupa, pierścień, czy ciało, jest przykładem algebry.

Algebra

Rozważmy zbiór D, który jest rozłączną sumą zbiorów, wyrażoną jako:

D = ⋃_i=0ⁿD_i.

Elementy zbioru D nazywamy symbolami i traktujemy je jako symbole działań. Przy czym d_k ∈ D_k są symbolami działań k-argumentowych. Zbiór A wraz z przyporządkowaniem każdemu symbolowi d_k ∈ D_k działania ϕ_k: A^k → A definiuje algebrę.

Często jest wygodne utożsamianie symboli d_k z działaniami ϕ_k.

Algebrę można również zdefiniować jako parę F = (F, μ), gdzie F jest zbiorem, a μ: F → N nazywa się typem algebry. Para A = (A, F_A) jest algebrą typu F, jeśli zbiory F_A i F są równoliczne, a każdemu f ∈ F odpowiada f_A ∈ F_A, przy czym f_A: A^μ(f) → A.

Element f_A nazywamy działaniem lub operacją μ(f)-argumentową.

Przykłady algebr

Półgrupa

Algebrę G, w której D₀ = ∅, D₁ = ∅, D₂ = {∘} oraz działanie ∘ jest łączne, tzn. dla każdego a, b, c ∈ G zachodzi (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c), nazywamy półgrupą.

Grupa

Algebrę G, w której D₀ = {e}, D₁ = {⁻¹}, D₂ = {∘}, działanie ∘ jest łączne, a dla każdego a ∈ G zachodzi a ∘ e = a oraz a ∘ a⁻¹ = e, nazywamy grupą.

Krata

Krata to algebra A, w której D₀ = ∅, D₁ = ∅, D₂ = {∨, ∧} oraz dla każdego x, y, z ∈ A są spełnione odpowiednie warunki.

Podalgebra

Podalgebrą algebry A z działaniami F_A nazywamy niepusty zbiór B ⊆ A, taki że dla każdego działania ϕ ∈ F_A, obcięcie ϕ|_B jest działaniem w B.

Kongruencje

Relacja równoważności ≡ w algebrze A nazywa się kongruencją, jeśli dla każdego d_k ∈ D_k i dla każdego x₁, …, x_k, y₁, …, y_k ∈ A, jeśli x₁ ≡ y₁ ∧ x₂ ≡ y₂ ∧ … ∧ x_k ≡ y_k, to zachodzi d_k(x₁, x₂, …, x_k) ≡ d_k(y₁, y₂, …, y_k).

Algebra ilorazowa

Mając kongruencję ≡ w algebrze A, można skonstruować algebrę tego samego typu co A. Zbiór ilorazowy A/≡ definiuje się jako B = A/≡ oraz ϕ_≡: B^k → B wzorem ϕ_≡1], [x₂], …, [x_k]) := [ϕ(x₁, x₂, …, x_k)]. Działania ϕ_≡ są dobrze określone, co oznacza, że nie zależą od wyboru reprezentantów x₁, …, x_k.

Homomorfizm algebr

Homomorfizmem algebr A i B ze zbiorem symboli D = ⋃_i=0ⁿD_i nazywamy funkcję ϕ: A → B, taką, że dla każdego d_k ∈ D_k i dla każdego x₁, x₂, …, x_k ∈ A, zachodzi ϕ(d_k(x₁, x₂, …, x_k)) = d_k(ϕ(x₁), ϕ(x₂), …, ϕ(x_k)).

Zobacz też

• algebra

Przypisy

Bibliografia

Burris, Stanley N., i H.P. Sankappanavar, H.P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2. (monografia dostępna w sieci)

А.Г. Курош: Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года. Wyd. 1. Наука, 1974. Brak numerów stron w książce

Л. А. Скорняков: Элементы общей алгебры. Wyd. 1. Наука, 1983. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

Elementy algebry uniwersalnej

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Universal Algebra, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-06-01].