Algebra topologiczna
Algebra topologiczna to przestrzeń liniowo-topologiczna, która posiada dodatkowe działanie, najczęściej określane jako mnożenie. Wraz z tym działaniem, przestrzeń ta staje się algebrą, a samo mnożenie zachowuje ciągłość względem pierwotnej topologii. Niektórzy autorzy dodatkowo przyjmują, że wyjściowa topologia musi spełniać warunek T1.
Typowe przykłady algebr topologicznych obejmują algebry Banacha (takie jak C*-algebry, algebry von Neumanna, czy ogólniej algebry unormowane). Wymóg ciągłości mnożenia jest dość restrykcyjny – w przeciwieństwie do rzeczywistych lub zespolonych przestrzeni liniowych, gdzie można zawsze wprowadzić normę, istnieją algebry, które nie mogą być topologizowane. Oznacza to, że nie da się w nich wprowadzić topologii typu T1, względem której wszystkie operacje algebr są ciągłe.
Jeśli X jest nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha, to zbiór wszystkich operatorów liniowych i ograniczonych na X z mocną topologią operatorową (znaną jako SOT) lub słabą topologią operatorową (znaną jako WOT) nie tworzy algebry topologicznej, ponieważ mnożenie (w tym przypadku działanie składania operatorów) nie jest ciągłe.
Przypisy
Bibliografia
- H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Clarendon Press, Oxford, 2000.
- W. Żelazko, Selected topics in topological algebras, Aarhus University Lecture Notes, vol. 31, 1971.
