Pierścień różniczkowy, ciało różniczkowe oraz algebra różniczkowa
Pierścień różniczkowy, ciało różniczkowe oraz algebra różniczkowa to odpowiednio: pierścień, ciało i algebra, które są wyposażone w różniczkowanie, czyli funkcję jednoargumentową, która spełnia zasady iloczynu Leibniza. Przykładem ciała różniczkowego jest ciało funkcji wymiernych nad liczbami zespolonymi jednej zmiennej, oznaczane jako C(t), gdzie różniczkowaniem jest różniczka względem t.
Pierścień różniczkowy
Pierścień różniczkowy to pierścień R, który jest wyposażony w co najmniej jedno różniczkowanie ∂: R → R, gdzie każde z nich spełnia prawo Leibniza:
∂(r1r2) = (∂r1)r2 + r1(∂r2) dla dowolnych r1, r2 ∈ R.
Warto pamiętać, że pierścień nie musi być przemienny, co oznacza, że standardowe prawo iloczynu w kontekście przemiennym, d(xy) = x dy + y dx, może być fałszywe. Jeśli M: R × R → R jest mnożeniem w pierścieniu, to prawo iloczynu jest tożsamością:
∂ ∘ M = M ∘ (∂ × id) + M ∘ (id × ∂),
gdzie f × g oznacza funkcję, która odwzorowuje parę (x, y) na parę (f(x), g(y)).
Ciało różniczkowe
Ciało różniczkowe to ciało K z różniczkowaniem. Teoria ciał różniczkowych, oznaczana jako DF (od ang. differential field), opiera się na standardowych aksjomatach ciała oraz dwóch dodatkowych aksjomatów dotyczących różniczkowania. Różniczkowanie musi spełniać prawo iloczynu Leibniza dla elementów z ciała, co oznacza, że dla dowolnych u, v z ciała zachodzi:
∂(uv) = u ∂v + v ∂u,
gdyż mnożenie w ciele jest przemienne. Dodatkowo, różniczkowanie musi być rozdzielne względem dodawania w ciele:
∂(u + v) = ∂u + ∂v.
Jeśli K jest ciałem różniczkowym, to ciało stałych można zdefiniować jako:
k = {u ∈ K: ∂(u) = 0}.
Algebra różniczkowa
Algebra różniczkowa nad ciałem K to K-algebra A, gdzie różniczkowania są przemienne z działaniami ciała. Oznacza to, że dla każdego k ∈ K oraz x ∈ A zachodzi:
∂(kx) = k ∂x.
W zapisie bezwskaźnikowym, jeśli η: K → A jest homomorfizmem pierścieniowym, to zachodzi:
∂ ∘ M ∘ (η × id) = M ∘ (η × ∂).
Różniczkowanie powinno również spełniać prawo Leibniza względem mnożenia w algebrze oraz być liniowe względem dodawania, co oznacza, że dla każdego a, b ∈ K oraz x, y ∈ A mamy:
∂(xy) = (∂x)y + x(∂y)
oraz
∂(ax + by) = a ∂x + b ∂y.
Różniczkowanie w algebrze Liego
Różniczkowanie w algebrze Liego g jest liniowym odwzorowaniem D: g → g, które spełnia prawo Leibniza:
D([a, b]) = [a, D(b)] + [D(a), b].
Dla dowolnego a ∈ g, wyrażenie ad(a) jest różniczkowaniem w g, które spełnia tożsamość Jacobiego. Tego rodzaju różniczkowanie nazywa się różniczkowaniem wewnętrznym.
Przykłady
Jeśli A ma jedynkę, to ∂(1) = 0, ponieważ ∂(1) = ∂(1 × 1) = ∂(1) + ∂(1).
Na przykład, w ciele różniczkowym o charakterystyce zero, liczby wymierne zawsze są podciałem ciała stałych. Każde czyste ciało może być interpretowane jako ciało różniczkowe stałych.
Ciało Q(t) ma unikalną strukturę jako ciało różniczkowe, określoną przez równość ∂(t) = 1, co sprawia, że różniczkowanie jest różniczką względem t. Na przykład, dzięki przemienności mnożenia i prawu Leibniza mamy:
∂(u2) = u ∂(u) + ∂(u) u = 2u ∂(u).
W ciele różniczkowym Q(t) nie ma rozwiązania równania różniczkowego ∂(u) = u, ale istnieje ono w większym ciele różniczkowym, które zawiera funkcję et.
Ciało różniczkowe, które ma rozwiązania dla wszystkich układów równań różniczkowych, nazywane jest ciałem różniczkowo domkniętym. Takie ciała istnieją, ale nie mają naturalnych właściwości obiektów algebraicznych lub geometrycznych. Wszystkie ciała różniczkowe o ograniczonej kardynalności są zawarte w większym ciele różniczkowo domkniętym. Ciała różniczkowe są przedmiotem badań w teorii Galois różniczkowej.
Typowymi przykładami różniczkowań są pochodna cząstkowa, pochodna Liego, pochodna Pincherlego oraz komutator względem elementu algebry. Wszystkie te przykłady są ze sobą ściśle powiązane wspólnym pojęciem różniczkowania.
Pierścień operatorów pseudoróżniczkowalnych
Pierścienie różniczkowe i algebry różniczkowe są często badane za pomocą pierścienia operatorów pseudoróżniczkowych, które są na nich zdefiniowane.
Niech R((ξ−1)) będzie danym pierścieniem, zdefiniowanym jako:
R((ξ−1)) = {∑n<∞ rn ξn: rn ∈ R}.
Mnożenie w tym pierścieniu określone jest wzorem:
(r ξm)(s ξn) = ∑k=0m r(∂ks) (m k) ξm+n−k,
gdzie (m k) oznacza symbol Newtona. Warta uwagi jest tożsamość:
ξ−1r = ∑n=0∞ (−1)n(∂nr) ξ−1−n.
Wynika to z innych tożsamości:
(−1)n = (−1) n oraz
r ξ−1 = ∑n=0∞ ξ−1−n(∂nr).
Różniczkowania z gradacją
Jeżeli mamy algebrę z gradacją A, a D jest jednorodnym przekształceniem liniowym o gradacji d = |D| w A, to D jest różniczkowaniem jednorodnym, jeśli:
D(ab) = D(a)b + ε |a| |D| a D(b),
gdzie ε = ±1 działa na elementach jednorodnych A. Różniczkowanie z gradacją jest sumą różniczkowań jednorodnych o tym samym ε. Jeśli współczynnik komutujący ε = 1, to definicja ta redukuje się do zwykłego przypadku. Jednak gdy ε = −1, to mamy:
D(ab) = D(a)b + (−1) |a| D(b) dla parzystych |D|.
Takie różniczkowania nazywane są antyróżniczkowaniami. Przykładami antyróżniczkowań są pochodna zewnętrzna i produkt wewnętrzny działający na formach różniczkowych.
Różniczkowania w superalgebrze (np. algebry z gradacją Z2) są często nazywane superróżniczkowaniami.
Zobacz też
- algebra różniczkowa z gradacją
- ciało różniczkowo domknięte
- D-moduł – struktura algebraiczna z działającymi na niej kilkoma operatorami różniczkowymi
- pochodna arytmetyczna
- różniczka Kählera
- różniczkowa teoria Galois
Bibliografia
- Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
- I. Kaplansky, Differential Algebra, Hermann (1957).
- E. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973
- D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer i A. Pillay, Springer Verlag (1996).
- A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994
Linki zewnętrzne
Strona domowa Davida Markera zawiera kilka internetowych przeglądów dotyczących pól różniczkowych.