Algebra przemienna
Algebra przemienna to gałąź algebry, która zajmuje się badaniem właściwości pierścieni przemiennych oraz powiązanych z nimi struktur, takich jak ideały, moduły, waluacje itp.
Najważniejsze działy algebry przemiennej
- Moduły płaskie
- Lokalizacja
- Gradacje, filtracje i topologie
- Ideały pierwsze oraz rozkład prymarny
- Elementy całkowite
- Waluacje
- Dywizory
Historia algebry przemiennej
Algebra przemienna rozwinęła się z problemów związanych z teorią liczb oraz geometrią algebraiczną. Na początku koncentrowano się na arytmetyce konkretnych pierścieni, a podstawowym obiektem teorii liczb był pierścień liczb całkowitych ℤ ({\displaystyle \mathbb {Z}}), w którym kluczowym prawem arytmetycznym jest jednoznaczny rozkład każdej liczby całkowitej na iloczyn liczb pierwszych. Pierre de Fermat przypuszczał, że ta własność jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze odnosi się również do pierścieni ℤ(ζ) ({\displaystyle \mathbb {Z} (\zeta )}), gdzie ζ ≠ 1 ({\displaystyle \zeta \neq 1}) jest pierwiastkiem z 1. Jednakże nie jest to właściwość zawsze prawdziwa, co skłoniło kolejne pokolenia matematyków do dalszych badań.
Pierwszym matematykiem, który przyjął podejście badawcze zbliżone do współczesnego, był Joseph Louis Lagrange. Następnie Leonhard Euler oraz Carl Friedrich Gauss udowodnili prawdziwość wielkiego twierdzenia Fermata dla p = 3 ({\displaystyle p=3}). W latach 30. XIX wieku Gauss i Kummer odkryli związek niektórych problemów teorii liczb z arytmetyką rozszerzeń kwadratowych i rozszerzeń podziału koła. Jednakże brak jednoznaczności rozkładu na czynniki nierozkładalne utrudniał rozszerzenie klasycznych wyników na pierścienie liczb algebraicznych. Kummer zauważył, że jednoznaczność w pierścieniach podziału koła zostanie zachowana, jeśli do zwykłych liczb dodane zostaną liczby idealne, znane obecnie jako dywizory. Badania te kontynuowali Leopold Kronecker i Richard Dedekind. W 1882 roku Dedekind wprowadził pojęcie ideału oraz ideału pierwszego, co stanowiło fundament jednowymiarowej algebry przemiennej.
Równolegle, w obszarze geometrii algebraicznej, kształtowały się podstawy wielowymiarowej algebry przemiennej. W tym okresie badano krzywe na płaszczyźnie zespolonej oraz rozmaitości algebraiczne w M ⊂ ℂⁿ ({\displaystyle M\subset \mathbb {C} ^{n}}), które definiowane były jako wspólne miejsca zerowe wielomianów P₁, …, Pₖ ({\displaystyle P_{1},\dots ,P_{k}\in \mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}]}). Tę samą rozmaitość M ({\displaystyle M}) można definiować przy użyciu innych wielomianów. W związku z tym bardziej sensowne stało się powiązanie rozmaitości algebraicznej z ideałem wielomianów, które na niej zerują. Tę ideę rozwijał w swoich pracach David Hilbert, który udowodnił: twierdzenie Hilberta o zerach, twierdzenie Hilberta o bazie, twierdzenie o syzygiach oraz istnienie wielomianu Hilberta dla ideału jednorodnego w pierścieniu wielomianów.
Nowe kierunki rozwoju algebry przemiennej zostały otwarte dzięki pracy Krulla nad pierścieniami lokalnymi. Przykładem takiego pierścienia jest pierścień kiełków funkcji analitycznych w punkcie rozmaitości zespolonej. Związane z tym są operacje lokalizacji, uzupełnienia oraz przejścia do pierścienia Gentzena. Krull rozwijał teorię wymiaru pierścieni lokalnych oraz wprowadził pojęcie regularnego pierścienia przemiennego. W pierścieniu lokalnym możliwe jest wprowadzenie topologii, co umożliwia przeprowadzenie operacji uzupełniania oraz porównanie własności pierścienia i jego uzupełnienia. W 1946 roku I.S. Cohen opisał strukturę zupełnych pierścieni lokalnych.
Ostatni rozwój algebry przemiennej związany jest z zastosowaniem metod homologicznych oraz teorii kategorii. Przyczyniła się do tego tendencja, która wyrosła z czasów Dedekinda i Emmy Noether, do linearyzacji, według której ideały pierścienia traktowane są jako szczególny przypadek modułu. Do modułów można stosować konstrukcje algebry liniowej: suma prosta, moduł homomorfizmów oraz iloczyn tensorowy. To umożliwia wykorzystanie metod algebry homologicznej, która powstała w połowie XX wieku jako dalekie uogólnienie teorii syzygii. W rezultacie zdefiniowano moduły o specjalnych właściwościach (np. moduł rzutowy, moduł injektywny, moduł płaski).
Przypisy
Bibliografia
Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 2: Д-Коо. Москва: Советская Энциклопедия, 1979. (ros.). Brak numerów stron w książce
Боревич З.И., Шафаревич И.Р.: Теория чисел. Москва: Наука, 1985. (ros.). Brak numerów stron w książce
Bourbaki N.: Algèbre commutative. Paris: Hermann, 1961-1965, seria: Éléments de matématique. Brak numerów stron w książce
Linki zewnętrzne
Eric W.E.W. Weisstein, Commutative Algebra, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-06-01].
Commutative algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
