Algebra ogólna

Algebra ogólna

Algebra ogólna, znana również jako algebra uniwersalna lub abstrakcyjna, to struktura, która przyjmuje postać:

(A, f₁, …, f_m, a₁, …, a_n),

gdzie:

• A – to zbiór,
• a₁, …, a_m ∈ A – to wyróżnione elementy,
• f_i: A^k_i → A – to funkcje interpretowane jako k_i-argumentowe działania w A.

Przykładami algebr są:

• grupa addytywna (G, +, 0),
• grupa multiplikatywna (G, ⋅, 1),
• pierścień (R, +, ⋅, 0).

Algebra ogólna jest obiektem badań w ramach algebry uniwersalnej. Szczególnie ważną klasę algebr stanowią algebry, które można zdefiniować równo.

Definicja

Algebrą (lub algebrą ogólną) nazywamy skończony ciąg postaci:

(A, f₁, f₂, …, f_m, a₁, a₂, …, a_n),

gdzie:

• A jest niepustym zbiorem zwanym nośnikiem (lub uniwersum algebry),
• a₁, a₂, …, a_n są pewnymi elementami zbioru A (nazywanymi elementami wyróżnionymi),
• f₁, f₂, …, f_m są działaniami określonymi w zbiorze A, przy czym f_i jest działaniem k_i-argumentowym, co oznacza, że jest funkcją postaci f_i: A^k_i → A, oraz k_i > 0.

Zwykle wymaga się, aby elementy wyróżnione i działania spełniały pewne właściwości.

Algebry podobne

Dwie algebry:

(A, f₁, f₂, …, f_m, a₁, a₂, …, a_n)

i

(B, g₁, g₂, …, g_r, b₁, b₂, …, b_s)

nazywamy algebrami podobnymi (lub algebrami tego samego typu), jeśli:

• m = r,
• n = s,
• dla każdego i ∈ {1, 2, …, m} działania f_i oraz g_i mają tę samą liczbę argumentów, tj. f_i: A^k_i → A oraz g_i: B^k_i → B.

Działania zgodne z relacją równoważności

Niech ∼ będzie relacją równoważności w zbiorze A. K_i-argumentowe działanie f w A nazywa się zgodnym z relacją ∼, jeśli dla dowolnych x₁, …, x_k, y₁, …, y_k ∈ A:

x₁ ∼ y₁ ∧ … ∧ x_k ∼ y_k ⇒ f(x₁, …, x_k) ∼ f(y₁, …, y_k).

W szczególności, jeśli f jest działaniem jednoargumentowym, to dla wszystkich x₁, y₁ ∈ A:

x₁ ∼ y₁ ⇒ f(x₁) ∼ f(y₁;

a gdy f = ∘ jest działaniem dwuargumentowym, to:

x₁ ∼ y₁ ∧ x₂ ∼ y₂ ⇒ x₁ ∘ x₂ ∼ y₁ ∘ y₂.

Innymi słowy, działanie f w zbiorze A jest zgodne z relacją ∼, jeśli dla równoważnych argumentów daje równoważne wyniki.

Kongruencje

Relację równoważności ∼ w algebrze (A, f₁, …, f_m, a₁, …, a_n) nazywamy kongruencją, jeśli dla każdego 1 ≤ i ≤ m działanie f_i jest zgodne z relacją ∼.

Algebra ilorazowa

Posiadając kongruencję ∼ na algebrze (A, f₁, …, f_m, a₁, …, a_n), można skonstruować algebrę podobną do A. Zbiór ilorazowy A/∼ jest zbiorem klas abstrakcji elementów a_j względem relacji ∼, tzn. b_j := [a_j]_∼.

Działania g₁, …, g_m są zdefiniowane wzorami:

g_i([x₁]_∼, …, [x_ki]∼) := [f_i(x₁, …, x_ki)]∼.

Aby działania g_i były dobrze zdefiniowane, muszą być niezależne od wyboru reprezentantów x₁, …, x_ki.

Homomorfizm algebr

Homomorfizmem algebr podobnych (A, f₁, …, f_m, a₁, …, a_n) i (B, g₁, …, g_m, b₁, …, b_n) nazywamy funkcję h: A → B taką, że:

h(f_i(x₁, …, x_{ki)) = gi(h(x1), …, h(xki)) dla i = 1, …, m.}

W szczególności, jeśli f_i = ∘, a g_i = ⋅, to:

h(x₁ ∘ x₂) = h(x₁) ⋅ h(x₂).

Alternatywne definicje algebry

W algebrze uniwersalnej stosuje się bardziej abstrakcyjną definicję algebry. Niech D = ⋃_i=0ⁿD_i będzie rozłączną sumą zbiorów. Elementy zbioru D nazywamy symbolami i interpretujemy jako symbole działań. Algebrą nazwiemy zbiór A wraz z przyporządkowaniem każdemu symbolowi d_k ∈ D_k k-argumentowego działania ϕ_k: A^{k → A.}

Bardzo często wygodnie jest utożsamiać symbole d_k z działaniami ϕ_k.

Algebrę można zdefiniować jeszcze inaczej. Parę (F, μ), gdzie F jest zbiorem, a μ: F → N nazywa się typem algebry. Parę (A, F_A) nazywa się algebrą typu F, jeśli zbiory F_A i F są równoliczne, a każdemu f ∈ F odpowiada f_A ∈ F_A taki, że f_A: A^μ(f) → A.

Przykłady

Półgrupa

Algebrę (G, ∘) nazywamy półgrupą, jeśli działanie ∘ jest łączne, tzn. dla każdej a, b, c ∈ G:

(a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c).

Grupa

Algebrę (G, ∘, e) nazywamy grupą, jeśli jest półgrupą oraz dodatkowo:

• Dla każdego a ∈ G zachodzi: a ∘ e = a,
• Dla każdego a ∈ G istnieje b ∈ G takie, że a ∘ b = e.

Element e nazywa się elementem neutralnym działania ∘, a b elementem odwrotnym do a lub elementem przeciwnym do a.

Grupa abelowa

Grupę (G, ∘, e), w której działanie jest przemienne, tzn. dla każdej a, b ∈ G zachodzi: a ∘ b = b ∘ a, nazywamy grupą przemienną lub abelową.

Grupa addytywna i multiplikatywna

Grupę, w której działanie interpretuje się jako dodawanie, oznaczamy (G, +, 0) i nazywamy grupą addytywną, natomiast grupę, w której działanie interpretuje się jako mnożenie, oznaczamy (G, ⋅, 1) i nazywamy grupą multiplikatywną.

Pierścień (łączny)

Algebrę (R, +, ⋅, 0) nazywamy pierścieniem (łącznym), jeśli (R, +, 0) jest grupą przemienną, (R, ⋅) jest półgrupą, a ponadto mnożenie jest rozdzielne względem dodawania.

Zobacz też

algebra nad ciałem

Przypisy

Bibliografia

Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012.

Linki zewnętrzne

General algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, [dostęp 2023-10-10].