Algebra Liego

Algebra Liego

Algebra Liego to przestrzeń wektorowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, która jest jednocześnie algebrą, w której zdefiniowano mnożenie elementów zwane nawiasem Liego (szczegóły poniżej). Algebry Liego są ściśle związane z grupami Liego.

Elementy bazy algebry Liego określane są jako generatory grupy Liego, przy pomocy których można obliczyć dowolny element grupy Liego poprzez eksponentę. Każdej grupie Liego przyporządkowana jest algebra Liego i odwrotnie. Ta wzajemna zależność umożliwia badanie grup Liego poprzez analizę algebr Liego.

Wymiar algebry Liego odpowiada liczbie niezależnych generatorów.

Algebra Liego określana jako rzeczywista jest przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych (analogicznie definiuje się zespoloną algebrę Liego).

Każda algebra Liego może być przedstawiona za pomocą zbioru macierzy kwadratowych. Taki wybór macierzy nazywa się reprezentacją algebry Liego. Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy algebrą a jej reprezentacją, określana jako homomorfizm: jest to przyporządkowanie elementów algebry macierzom kwadratowym, które zachowuje operacje dodawania i mnożenia. Wybór wymiaru macierzy jest dowolny, co prowadzi do wielu możliwych reprezentacji danej algebry. Algebry Liego oraz ich reprezentacje znajdują zastosowanie w fizyce, zwłaszcza w mechanice kwantowej i fizyce cząstek elementarnych, a także w poszukiwaniu rozwiązań układów równań nieliniowych.

Nazwa algebr pochodzi od Sophusa Lie. W przeszłości określano je jako grupy infinitezymalne.

Definicja

Algebra Liego nad ciałem K (zwykle K = C lub K = R) to przestrzeń liniowa X nad ciałem K, w której dodatkowo określone jest działanie dwuargumentowe [⋅,⋅]:

[⋅,⋅]: X × X → X,

które nazywa się nawiasem Liego, spełniające dla dowolnych x, y, z ∈ X i α, β ∈ K następujące warunki:

• Dwuliniowość:

[αx + βz, y] = α[x, y] + β[z, y],

[x, αy + βz] = α[x, y] + β[x, z].

• Antysymetryczność:

[x, y] = -[y, x].

• Tożsamość Jacobiego:

[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.

Przykłady

Przestrzenie wektorowe

Wektory przestrzeni Rⁿ z nawiasem Liego zdefiniowanym tak, że dla dowolnych wektorów [a, b] = 0, tworzą algebrę Liego. Dowód: w każdym z warunków, jakie spełnia mnożenie, otrzymuje się tożsamość, ponieważ każdy nawias Liego występujący tam zeruje się.

Macierze kwadratowe n × n o elementach rzeczywistych, z nawiasem Liego będącym komutatorem macierzy:

[A₁, A₂] ≡ A₁A₂ − A₂A₁,

tworzą algebrę Liego pełnej grupy liniowej GL(n, R) macierzy odwracalnych (tj. takich, dla których wyznacznik ≠ 0).

Macierze antyhermitowskie wymiaru n × n tworzą rzeczywistą algebrę Liego u(n) z nawiasem Liego zadanym przez komutator macierzy i tworzą rzeczywistą algebrę Liego dla grupy macierzy unitarnych U(n).

Podprzestrzenie

W ogólnej liniowej algebrze Liego gl(n, F) zawarta jest specjalna liniowa algebra Liego sl(n, F), składająca się z macierzy o śladzie równym zeru.

Grupy macierzy rzeczywistych

Każda grupa Liego G definiuje powiązaną z nią algebrę Liego g = Lie(G). Zależność ogólna jest nieco złożona, ale w przypadku macierzy rzeczywistych/zespolonych może być sformułowana poprzez eksponentę macierzy: algebra Liego g składa się z tych macierzy X, dla których exp(tX) jest macierzą należącą do grupy G dla wszystkich rzeczywistych/zespolonych liczb t.

Przykłady nawiasów Liego

Nawias równy zero

Dowolna przestrzeń wektorowa, w której zdefiniujemy nawias Liego dla wszystkich elementów jako równy zero, tj. [a, b] = 0, jest algebrą Liego. Taka algebra Liego jest przemienna (abelowa).

Iloczyn wektorowy

Jako nawias Liego w przestrzeni wektorowej R³ przyjmujemy iloczyn wektorowy elementów, tj. [a, b] = a × b. Łatwo sprawdzić, że iloczyn wektorowy spełnia warunki definicji nawiasu Liego.

Komutator

Algebrą Liego jest dowolna algebra łączna, w której nawias Liego jest zdefiniowany jako komutator, tj. [a, b] = ab − ba. Komutator spełnia wszystkie warunki definicji nawiasu Liego.

Algebry Liego grup macierzy rzeczywistych

W przypadku algebry Liego określonej na grupie macierzy wymiaru n nawias Liego jest zadawany przez komutator macierzy [A₁, A₂] = A₁A₂ − A₂A₁. Zauważmy, że komutator też jest macierzą wymiaru n.

Grupy macierzy tworzące algebry Liego:

• grupy macierzy odwracalnych GL(n, R) nad pierścieniem R łącznym z jedynką,
• grupy macierzy specjalnych odwracalnych SL(n, R) (o wyznaczniku 1),
• grupy macierzy ortogonalnych O(n),
• grupy macierzy specjalnych ortogonalnych SO(n) (o wyznaczniku 1).

Algebry Liego grup macierzy o elementach zespolonych

1) Algebra l(n, C) – zbiór wszystkich macierzy kwadratowych wymiaru n × n o elementach zespolonych,

2) Algebra sl(n, C) – zbiór macierzy zespolonych o śladzie równym zeru; podalgebra algebry l(n, C),

3) Algebra u(n, C) – zbiór macierzy antyhermitowskich; podalgebra algebry l(n, C),

4) Algebra su(n, C) – podalgebra algebry l(n, C), będąca przecięciem dwóch powyższych,

5) Algebra so(n, R) – algebra antysymetrycznych macierzy kwadratowych wymiaru n o elementach rzeczywistych; z antysymetryczności wynika, że ślad tych macierzy jest równy zeru.

Generatory algebry i jej wymiar. Stałe struktury

(1) Generatorami algebry Liego nazywa się zbiór liniowo niezależnych elementów G_a, a = 1, 2, …, n, takich że każdy element x algebry wyraża się poprzez kombinację liniową generatorów, tj. x = ∑_a=1ⁿx_aG_a, przy czym współczynniki x_a są liczbami. Generatory tworzą więc bazę przestrzeni liniowej.

Generatory umożliwiają również utworzenie dowolnego elementu X grupy Liego, związanej z daną algebrą Liego, poprzez obliczenie eksponenty:

X = e^ix = e^{i∑_a=1nx_aG_a}.

(2) Wymiar algebry Liego to maksymalna liczba liniowo niezależnych generatorów.

(3) Zbiór generatorów charakteryzuje warunki komutacyjne, tj. komutator dowolnych dwóch generatorów jest liniową kombinacją wszystkich generatorów:

[G_a, G_b] = ∑_c=1ⁿf_abcG_c, \quad a, b = 1, 2, …, n.

Współczynniki f_ijk nazywane są stałymi struktury algebry Liego. Algebra o wymiarze n ma n³ stałych struktury.

(4) Dobór generatorów nie jest unikalny (podobnie jak dobór bazy przestrzeni wektorowej). Unikalność danej algebry charakteryzują wyłącznie stałe struktury.

(5) Jeżeli wszystkie komutatory są równe zeru, to algebra jest grupą abelową (przemienną).

Przykłady algebr Liego i ich generatorów

Algebra Heisenberga H₃(R)

(a) Jest to 3-wymiarowa algebra Liego o generatorach x, y, z oraz nawiasach Liego zdefiniowanych następująco:

[x, y] = z, \quad [x, z] = 0, \quad [y, z] = 0.

(b) W przestrzeni macierzy 3×3 te generatory są reprezentowane przez górnotrójkątne macierze:

x = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right), \quad y = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right), \quad z = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right).

Nawias Liego algebry Heisenberga dany jest przez komutator macierzy. Elementy grupy Liego odpowiadającej tej reprezentacji algebry Liego są macierzami górnotrójkątnymi postaci:

\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right), gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi; macierz tę można uzyskać mnożąc przez siebie eksponenty macierzy ax, by, cz (utworzonych z generatorów), tj.

\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) = e^{by}e^{cz}e^{ax}.

Uwaga: Ważna jest tu kolejność mnożenia eksponentów e^{by}, e^{cz}, e^{ax}, gdyż przedstawiają one macierze, których iloczyn na ogół nie jest przemienny.

Algebra translacji w przestrzeni trójwymiarowej

Grupa translacji w przestrzeni trójwymiarowej ma trzy generatory X, Y, Z, które pozwalają generować translacje odpowiednio w kierunku osi O_x, O_y i O_z. Generatory te tworzą algebrę Liego o komutatorach:

[X, Y] = [Y, Z] = [Z, X] = 0.

Jest to więc algebra przemienna.

Algebra so(3) grupy obrotów

(1) Grupa obrotów SO(3) w przestrzeni trójwymiarowej ma trzy generatory T₁, T₂, T₃, które pozwalają generować obroty odpowiednio wokół osi O_x, O_y i O_z, tj.

T₁ = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{array}\right], T₂ = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{array}\right], T₃ = \left[\begin{array}{ccc} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Generatory te tworzą bazę algebry Liego so(3). Komutatory generatorów mają wartości:

[T₁, T₂] = iT₃, \quad [T₂, T₃] = iT₁, \quad [T₃, T₁] = iT₂.

Wynika stąd, że stałe struktury algebry so(3) określone są przez symbol Leviego-Civity f_abc ≡ ε_abc.

(2) Dowolny element grupy obrotów SO(3) można otrzymać za pomocą eksponenty:

R(ϕ₁, ϕ₂, ϕ₃) = exp\left[i\sum_a=1³ϕ_aT_a\right], gdzie ϕ₁, ϕ₂, ϕ₃ to parametry obrotu.

Algebra su(2)

(1) Algebra su(2) to 3-wymiarowa algebra, reprezentowana za pomocą bezśladowych macierzy hermitowskich.

(2) Jej bazę dla reprezentacji wyrażonej przez macierze wymiaru 2 × 2 stanowią np.

τ₁ = \frac{1}{2}\left[\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right], \quad τ₂ = \frac{1}{2}\left[\begin{matrix}0 & -i \\ i & 0\end{matrix}\right], \quad τ₃ = \frac{1}{2}\left[\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{matrix}\right].

(są to macierze Pauliego dzielone przez 2).

(3) Związki komutacyjne pomiędzy generatorami:

[τ_a, τ_b] = i∑_cε_abcτ_c.

określają stałe struktury algebry su(2), f_abc ≡ ε_abc.

(4) Algebra ta generuje grupę Liego SU(2) specjalnych macierzy unitarnych. Macierze unitarnych grupy SU(2) wymiaru n × n otrzymuje się za pomocą eksponenty:

SU(ϕ₁, ϕ₂, ϕ₃) = exp\left[i\sum_a=1³ϕ_aG_a\right], gdzie G₁, G₂, G₃ to generatory, macierze wymiaru n × n, tworzące bazę algebry su(2).

(5) Widać, że stałe struktury algebry su(2) są identyczne jak dla algebry so(3) grupy obrotów w przestrzeni 3-wymiarowej. Algebra su(2) stanowi więc tzw. algebrę nakrywającą grupy obrotów, przy czym każdej macierzy obrotu odpowiadają wzajemnie jednoznacznie dwie macierze generowane przez su(2).

Zobacz też

• Marius Sophus Lie
• grupa Liego
• nawiasy Liego
• struktura algebraiczna
• twierdzenie Noether

Przypisy

Bibliografia

J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.

J. Mozrzymas, Zastosowania teorii grup w fizyce współczesnej, PWN, Warszawa 1967.

Jean-Pierre Serre, Lie Algebras and Lie Groups, 2nd edition, Springer, 2006, ISBN 3-540-55008-9.

Linki zewnętrzne

Lie algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics [dostęp 2024-04-05].