Algebra Jiang-Su
Algebra Jiang-Su, zazwyczaj oznaczana symbolem ℨ, jest pierwszym przykładem nuklearnej, prostej, stabilnie skończonej C*-algebry z jedynką, która ma taką samą K-teorię jak algebra liczb zespolonych C. Algebra Jiang-Su jest istotna w kontekście klasyfikacji algebr C*, a jej konstrukcja została przeprowadzona przez Jiang Xinhuia i Su Hongbinga w 1999 roku. Pełni ona podobną rolę w teorii C*-algebr jak hiperskończone faktory typu II1 w teorii algebr von Neumanna.
Opis konstrukcji
Algebrę ℨ można zdefiniować jako granicę prostą algebr I[m₀, m, m₁], które zostaną opisane poniżej.
Algebry I[m₀, m, m₁]
Niech m₀, m, m₁ będą liczbami naturalnymi, które dzielą m, oraz niech:
I[m₁, m, m₂] = { f ∈ C([0, 1], Mm) : f(0) ∈ Mm/m₀, f(1) ∈ Mm/m₁ }
Wówczas I[m₀, m, m₁] jest C*-algebrą, która nie ma nietrywialnych rzutów wtedy i tylko wtedy, gdy liczby m₀ i m₁ są względnie pierwsze.
K-teoria
Niech A = I[m₀, m, m₁]. Wówczas:
(K0(A), K0(A)+, [1A]) = (Z, N, nwd(m₀, m₁))
oraz K1(A) = Zp, gdzie p = m ⋅ nwd(m₀, m₁) / (m₀m₁).
gdzie:
nwd – największy wspólny dzielnik.
W szczególności A = I[m₀, m, m₁] ma taką samą K-teorię jak C wtedy i tylko wtedy, gdy m₀ i m₁ są względnie pierwsze.
Konstrukcja ℨ
Istnieje ciąg induktywny:
A1 ⟶ A2 ⟶ A3 ⟶ …
gdzie An = I[pn, dn, qn], nwd(pn, qn) = 1 oraz odwzorowania ϕm,n są postaci:
ϕm,n(f) = u*[f ∘ ξ1, 0, …, 0; 0, f ∘ ξ2, …, 0; …; 0, 0, …, f ∘ ξn]u,
przy czym u jest ciągłą drogą w grupie U(dn) macierzy unitarnych stopnia dn oraz (ξk)k≤n jest ciągiem dróg w przedziale [0,1].
Algebra ℨ jest granicą induktywną powyższego ciągu, a jej konstrukcja jest jednoznaczna ze względu na dobór ciągu algebr A1, A2, A3, ….
