Algebra funkcyjna (lub algebra jednostajna) – algebra Banacha
Algebra funkcyjna, znana również jako algebra jednostajna, to szczególny przypadek algebry Banacha, oznaczany symbolem A. Jest to domknięta podalgebra algebry Cb(K), która obejmuje wszystkie ograniczone funkcje ciągłe zdefiniowane na regularnej przestrzeni K. Algebra ta posiada normę supremum, zawiera funkcje stałe oraz pozwala na rozróżnienie punktów w przestrzeni K. Oznacza to, że dla dowolnej pary różnych punktów x i y w K istnieje funkcja f w algebrze A, taka że f(x) ≠ f(y).
W przypadku, gdy przestrzeń K jest zwartą przestrzenią, każda funkcja ciągła na K jest ograniczona, a algebra Cb(K), w tym kontekście często oznaczana jako C(K), ma jedynkę.
Przykłady
Niech K będzie zwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej. Oznaczmy przez P(K) i R(K) domknięcia w C(K) algebr odpowiednio złożonych z wielomianów oraz funkcji wymiernych na K. Algebry P(K) i R(K) są przykładami algebr funkcyjnych.
Klasycznym przykładem algebry funkcyjnej jest algebra A(K), która składa się ze wszystkich funkcji ciągłych na K, które są holomorficzne we wnętrzu K. Jeśli K jest domkniętym kołem jednostkowym w płaszczyźnie, algebra A(K) jest określana jako algebra dyskowa.
Zobacz też
- brzeg Szyłowa
- twierdzenie Stone’a-Weierstrassa
Bibliografia
H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Clarendon Press, Oxford, 2000, s. 447–457.
Linki zewnętrzne
Uniform algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
