Algebra dyskowa

W kontekście analizy funkcjonalnej i zespolonej, algebra dyskowa to zbiór funkcji holomorficznych, oznaczany jako

A( $D$ ) = $A(\mathbb{D})$ , gdzie $f$ jest funkcją z $D$ do $C$ , zapisywaną jako $f\colon \mathbb{D} \to \mathbb{C}$ . Tutaj $\mathbb{D}$ to otwarte koło jednostkowe w płaszczyźnie zespolonej $\mathbb{C}$ , zdefiniowane przez warunek $(z\in \mathbb{D} \Leftrightarrow |z|<1)$ . Funkcja $f$ przedłuża się do funkcji ciągłej na domknięciu tego okręgu, którego oznaczenie to ${\overline {\mathbb {D}}}$ .

Mówiąc inaczej, możemy zapisać:

A( $D$ ) = $H^{\infty}(\mathbb{D}) \cap C({\overline {\mathbb{D}}})$ , gdzie $H^{\infty}(\mathbb{D})$ to przestrzeń Banacha funkcji ograniczonych, analitycznych na kole jednostkowym $\mathbb{D}$ (znana jako przestrzeń Hardy’ego). Oznacza to, że jest to przestrzeń funkcji holomorficznych zdefiniowanych na otwartym kole jednostkowym oraz ciągłych na domkniętym kole jednostkowym. Jeśli dodamy do tej przestrzeni operacje punktowego dodawania i mnożenia, zdefiniowane odpowiednio jako:

$(f+g)(z) = f(z) + g(z)$
$(fg)(z) = f(z)g(z)$

to staje się ona algebrą nad $\mathbb{C}$ , ponieważ jest zamknięta na dodawanie i mnożenie.

Norma supremum na algebrze dyskowej jest definiowana jako:

‖ $f$ ‖ = sup{ $|f(z)|$ | $z$ ∈ $D$ } = max{ $|f(z)|$ | $z$ ∈ ${\overline {\mathbb{D}}}$ }.

W ten sposób skonstruowana algebra jest przemienną algebrą Banacha, posiadającą strukturę algebry jednostajnej.

W wyniku konstrukcji algebry dyskowej, okazuje się, że jest ona domkniętą podalgebrą przestrzeni Hardy’ego $H^{\infty}(\mathbb{D})$ . Wystarczy zauważyć, że $A(\mathbb{D}) \subseteq H^{\infty}(\mathbb{D})$ , a ponieważ jest to przestrzeń domknięta (będąca przestrzenią Banacha), to jest również zamkniętą podalgebrą przestrzeni Hardy’ego.