Algebra Clifforda

Algebra Clifforda formy kwadratowej

Niech Q oznacza formę kwadratową:

Q: V → K

definiuje się jako para:

({strong>C, j),

gdzie C jest algebrą nad K, a j:

j: V → C

to przekształcenie liniowe, które spełnia warunek, że dla każdego v ∈ V:

(j(v))2 = Q(v)e0,

gdzie e0 ∈ C jest elementem neutralnym mnożenia w C. Oznaczamy tę algebrę jako Cℓ(V, Q).

Algebra Clifforda jest uogólnieniem liczb zespolonych, kwaternionów oraz wielu innych podobnych struktur algebraicznych.

Definicja

Algebra Clifforda formy kwadratowej Q: V → K jest parą:

({strong>C, j),

gdzie C jest algebrą nad K, a j:

j: V → C

to przekształcenie liniowe, dla którego (dla każdego v ∈ V):

(j(v))2 = Q(v)e0,

gdzie e0 ∈ C jest elementem neutralnym mnożenia w C. Dodatkowo, dla każdej algebry A nad ciałem K oraz dla dowolnego przekształcenia liniowego i:

i: V → A,

które spełnia równanie:

(i(v))2 = Q(v)e0’,

istnieje dokładnie jeden homomorfizm algebr h:

h: C → A,

taki że i = h ∘ j, co oznacza, że dany diagram jest przemienny.

Uwagi

  • (1) Każdej formie kwadratowej Q: V → K odpowiada jednoznacznie symetryczna forma dwuliniowa F:

    • F: V × V → K

    taka, że Q(v) = F(v, v), co można zapisać jako:

    (j(v))2 = F(v, v)e0.

  • (2) Rozważając F(v + w, v + w) i rozwijając z jednej strony, otrzymujemy:

    • F(v + w, v + w) = F(v, v) + F(w, w) + 2F(v, w),

    natomiast z drugiej strony:

    (j(v + w))2 = (j(v) + j(w))2 = (j(v))2 + (j(w))2 + j(v)j(w) + j(w)j(v).

  • (3) Forma kwadratowa Q na skończonej wymiarowej przestrzeni V z wymiarem równym n = p + q może być zawsze sprowadzona do postaci:

    • Q(v) = F(v, v) = ∑i,j=1n ηi,jvivj = v12 + … + vp2 – vp+12 – … – vp+q2,

    gdzie ηi,j = ±1 dla i = j i 0 w przeciwnym przypadku.

  • (4) Wektory z V utożsamia się z ich obrazami w j(V) i często pisze się v zamiast j(v).
  • Wektory z Cℓ(V, Q) rozpięte przez e0 utożsamia się z elementami ciała K.

Baza i wymiar

Jeżeli przestrzeń liniowa V ma wymiar n i bazę (ei), to bazę algebry Clifforda Cℓ(V, Q) stanowią e0 oraz iloczyny j(v), oznaczane przez v:

  • ei1…ik

gdzie 1 ≤ i1 < ... < ik ≤ n oraz 1 ≤ k ≤ n.

Wymiar algebry Clifforda wynosi:

∑k=0n nk = 2n.

Konstrukcja algebry Clifforda

Definicja algebry Clifforda jest abstrakcyjna, jednakże można ją skonstruować w następujący sposób. Niech ⊗V := ⨁k=0∞V⊗k będzie algebrą tensorową.

Wybieramy ideał I generowany przez tensory postaci: v ⊗ v – Q(v)e0.

Algebrę C definiujemy jako iloraz:

C := ⊗V / I.

C wraz z naturalnym włożeniem j: V → C, j(v) := v + I jest algebrą Clifforda Cℓ(V, Q).

Przykłady

  • (1) Liczby zespolone tworzą trywialną algebrę Clifforda Cℓ0,1(R). Można je skonstruować z V = R.
  • (2) Kwaterniony są algebrą Clifforda Cℓ0,2(R).
  • (3) Rozpatrzmy 2-wymiarową podprzestrzeń M2×2(R).
  • (4) Liczby podwójne to algebra Clifforda Cℓ1,0(R).

Zobacz też

  • algebra tensorowa
  • algebra zewnętrzna
  • iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych

Przypisy

Bibliografia

J. Komorowski: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.

Linki zewnętrzne

Przeczytaj u przyjaciół: