Algebra centralna prosta
Algebra centralna prosta (znana również jako algebra Brauera, z ang. central simple algebra, CSA) to skończeniewymiarowa prosta algebra łączna nad ciałem K, której centrum stanowi K. Innymi słowy, każda prosta algebra jest algebrą centralną prostą względem swojego centrum. Termin ten zawdzięczamy Richardowi Brauerowi.
Przykłady
Liczby zespolone C tworzą algebrę centralną prostą nad sobą, ale nie są algebrą centralną prostą nad liczbami rzeczywistymi R. Centrum C obejmuje wszystkie elementy C, a nie tylko R.
Kwaterniony H są czterowymiarową algebrą centralną prostą nad R.
Pojęcia
Zgodnie z twierdzeniem Artina-Wedderburna, algebra prosta A jest izomorficzna z algebrą macierzy M(n, S) dla pewnego pierścienia z dzieleniem S. Jeśli mamy dwie algebry proste A ≃ M(n, S) oraz B ≃ M(m, T) nad tym samym ciałem K, nazywamy je podobnymi (czyli równoważnymi w sensie Brauera), jeśli ich pierścienie z dzieleniem S oraz T są izomorficzne. Zbiór wszystkich klas równoważności algebr centralnych prostych nad ciałem K można wzbogacić o działanie grupowe zdefiniowane przez iloczyn tensorowy algebr. Ta grupa nosi nazwę grupa Brauera Br(K) nad ciałem K.
Własności
Każdy automorfizm algebry centralnej prostej jest automorfizmem wewnętrznym, co wynika z twierdzenia Skolema-Noethera. Jeśli S jest prostą podalgebrą algebry centralnej prostej A, to dim F S dzieli dim F A.
Każda czterowymiarowa algebra centralna prosta nad ciałem K jest izomorficzna z algebrą kwaternionów; w rzeczywistości może to być albo algebra macierzy wymiaru 2 × 2, albo algebra z dzieleniem.
