Algebra Banacha

Algebra Banacha

Algebra Banacha to przestrzeń Banacha, która dodatkowo posiada zdefiniowane działanie mnożenia, dzięki któremu tworzy algebrę nad ciałem liczb rzeczywistych (algebrę rzeczywistą) lub zespolonych (algebrę zespoloną). W tej algebrze norma jest podmultiplikatywna, co oznacza, że dla elementów a i b z przestrzeni A zachodzi nierówność:

{\displaystyle \|a\cdot b\|\leqslant \|a\|\,\|b\|\quad (a,b\in A).}

Definicja ta ma zastosowanie również w przypadku przestrzeni unormowanych, które nie są całkowite – w takim przypadku mówimy o algebrach unormowanych. Gdy działanie mnożenia jest przemienne, mówi się o przemiennych algebrach unormowanych i przemiennych algebrach Banacha.

W teorii algebr Banacha istnieją istotne różnice między algebrami zespolonymi a rzeczywistymi, które wynikają z gorszych właściwości spektralnych tych drugich. Dlatego klasyczna teoria algebr Banacha koncentruje się głównie na zespolonych algebrach Banacha. W kontekście analizy p-adycznej również rozważa się algebry Banacha zdefiniowane na ciałach liczb p-adycznych (lub innych ciałach z waluacją), jednak zazwyczaj nie są one klasyfikowane jako algebry Banacha. W niniejszym artykule szczególną uwagę poświęci się głównie zespolonym algebram Banacha.

Nazwa algebra Banacha została wprowadzona w 1945 roku przez Warrena Ambrose’a.

Jedynka w algebrze Banacha

Definicja algebry Banacha nie wymaga posiadania jedynki, czyli elementu neutralnego względem mnożenia. Przykładem algebry Banacha, która nie ma jedynki, jest dowolna przestrzeń Banacha A z trywialnym mnożeniem, tj.:

{\displaystyle a\cdot b=0(a,b\in A).}

Jednak każdą algebrę Banacha A można rozszerzyć o jedynkę, tworząc większą algebrę Banacha (tj. zbudować jej ujedynkowienie) w taki sposób, aby A była izometryczna z ideałem o kowymiarze 1 w ujedynkowieniu. Dokładniej, w sumie prostej:

{\displaystyle A\oplus \mathbb {C} }

wprowadza się działanie mnożenia według wzoru:

{\displaystyle (a,\lambda )\cdot (b,\mu )=(ab+\lambda b+\mu a,\lambda \mu )\quad (a,b\in A,\lambda ,\mu \in \mathbb {C} ),}

z którym jest ona algebrą. Ta algebra jest algebrą Banacha z normą:

{\displaystyle \|(a,\lambda )|=\|a\|+|\lambda |\;(a\in A,\lambda \in \mathbb {C} )}

Powyższe konstrukcje mają zastosowanie także dla rzeczywistych algebr Banacha; należy jedynie wszędzie zastąpić C przez R.

Ciągłość mnożenia w algebrze Banacha

W algebrze Banacha operacja mnożenia jest ciągła. To jest warunek, który charakteryzuje algebry będące jednocześnie przestrzeniami Banacha pod względem przenormowania. Dokładniej, jeśli A jest taką algebrą, która jest przestrzenią Banacha z normą |·| oraz mnożenie w niej jest ciągłe względem każdej ze zmiennych, to istnieje norma równoważna na A, przy której A pozostaje algebrą Banacha. Na przykład funkcja:

{\displaystyle \|a\|=\sup\{|ab|\colon b\in A,|b|=1\}\;(a\in A).}

jest normą równoważną normie |·| oraz jest podmultiplikatywna, co oznacza, że A wyposażona w tę normę jest algebrą Banacha.

Przykłady

Niech X będzie lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz niech C ₀(X) oznacza algebrę funkcji ciągłych o wartościach skalarnych, które znikają w nieskończoności, tj. takich funkcji ciągłych f, że dla każdego ε > 0 zbiór:

{\displaystyle \{x\in X\colon |f(x)|\geqslant \varepsilon \}}

jest zwarty. W przypadku, gdy przestrzeń X jest zwarta, każda funkcja ciągła na X spełnia ten warunek, stąd przyjmuje się oznaczenie C(X).

Algebra C ₀(X) z normą supremum:

{\displaystyle \|f\|=\sup\{|f(x)|\colon x\in X\}\quad (f\in C_{0}(X)}).

jest przemienną algebrą Banacha, która ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń X jest zwarta (jedynką jest wówczas funkcja stale równa 1).

Przykładem skończenie wymiarowej algebry Banacha jest przestrzeń M _n macierzy kwadratowych stopnia n z działaniem zwykłego mnożenia macierzy i dowolną normą macierzową.

Niech E będzie przestrzenią Banacha oraz niech B(E) oznacza algebrę wszystkich operatorów ograniczonych T:

{\displaystyle T\colon E\to E}

ze składaniem jako mnożeniem. Wówczas B(E) z normą operatorową:

{\displaystyle \|T\|=\sup\{\|Tx\|\colon x\in E,\|x\|\leqslant 1\}\quad (T\in B(E))}

jest algebrą Banacha z jedynką (jedynką jest w tym wypadku operator identycznościowy). Algebra ta jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy dim E ≤ 1.

Niech L ₁(R) oznacza przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a na prostej z mnożeniem określonym przez splot, tj.

{\displaystyle (f*g)(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)g(x-t)\mathrm {d} t\;(f,g\in L_{1}(\mathbb {R} )).}

Jest to przykład algebry Banacha bez jedynki, którą jednak można aproksymować w taki sposób, że istnieje ciąg (e _n) ∈ N o wyrazach z przestrzeni L ₁(R) o tej własności, że:

{\displaystyle \|e_{n}\|=1}

dla każdej liczby naturalnej n oraz:

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }~\|e_{n}*f-f\|=\lim _{n\to \infty }~\|f*e_{n}-f\|=0}

dla każdej funkcji f ∈ L ₁(R).

Ogólniej, dla każdej lokalnie zwartej grupy topologicznej Hausdorffa z określoną na niej miarą Haara μ, przestrzeń L ₁(G) funkcji μ-całkowalnych na G z działaniem mnożenia splotowego jest algebrą Banacha.

{\displaystyle (xy)(g)=\int \limits _{G}x(h)y\left(h^{-1}g\right)\mu (\mathrm {d} h),\;x,y\in L^{1}(G).}

Algebra L ₁(G) ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy grupa G jest dyskretna.

Kwaterniony tworzą 4-wymiarową algebrę Banacha z normą daną przez ich moduł.

Otwartość grupy elementów odwracalnych a ciągłość operacji brania elementu odwrotnego

Niech A będzie (rzeczywistą bądź zespoloną) algebrą Banacha z jedynką 1. Zbiór G GL(A), złożony ze wszystkich elementów odwracalnych w A, jest niepusty, ponieważ zawiera 1 oraz jest grupą z mnożeniem dziedziczonym z A.

Jeżeli a ∈ A oraz δ := ‖1 − a‖ < 1, to a ∈ GL(A).

Ponadto:

{\displaystyle \|a^{-1}\|\leqslant {\frac {1}{1-\|1-a\|}}}

Dowód. Niech M < N będą liczbami naturalnymi. Wówczas:

{\displaystyle {\Big \|}\sum _{k=0}^{N}(1-a)^{k}-\sum _{k=0}^{M}(1-a)^{k}{\Big \|}={\Big \|}\sum _{k=M+1}^{N}(1-a)^{k}{\Big \|}\leqslant \sum _{k=M+1}^{N}\|1-a\|^{k}\leqslant {\frac {\delta ^{M}}{1-\delta }}.}

Ponieważ prawa strona powyższej nierówności jest zbieżna do 0, ciąg sum częściowych ciągu (1 − a) _k jest ciągiem Cauchy’ego, co oznacza, że jest on zbieżny do pewnego elementu b ∈ A (z zupełności A), tj.

{\displaystyle b=\sum _{k=0}^{\infty }(1-a)^{k}.}

Ponadto:

{\displaystyle ab=(1-(1-a))\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }(1-a)^{k}=1}

oraz:

{\displaystyle b=a^{-1}.}

Co więcej:

{\displaystyle \|b\|=\lim _{n\to \infty }{\Big \|}\sum _{k=0}^{n}(1-a)^{k}{\Big \|}\leqslant \sum _{k=0}^{n}{\big \|}(1-a){\big \|}^{k}={\frac {1}{1-\|1-a\|}}.}

Z powyższego wynika, że grupa GL(A) jest otwarta (w topologii pochodzącej od normy A).

Dowód. Niech u ∈ A będzie elementem odwracalnym oraz niech a ∈ A będzie dowolne. Wówczas a = u(1 − (1 − u ^-1a)).

W przypadku gdy ‖a − u‖ < ‖u ^-1 − 1‖, element a również jest odwracalny.

Ostatecznie, funkcja:

a ↦ a ^-1 (a ∈ GL(A)) jest ciągła, co oznacza, że GL(A) jest grupą topologiczną.

Ideały i ilorazowe algebry Banacha

Niech A będzie algebrą Banacha oraz niech I będzie domkniętym ideałem dwustronnym. W szczególności, I jest domkniętą podprzestrzenią liniową, więc przestrzeń ilorazowa A/ I jest przestrzenią Banacha. Ponieważ I jest ideałem dwustronnym, A/ I jest także algebrą. Ta algebra jest algebrą Banacha, co oznacza, że norma ilorazowa jest podmultiplikatywna.

Dowód. Niech a, b ∈ A. Wówczas:

{\displaystyle \|ab+I\|=\inf_{c\in ab+I}\|c\|=\inf_{c_{1}\in a+I,c_{2}\in b+I}\|c_{1}c_{2}\| \leqslant \inf_{c_{1}\in a+I,c_{2}\in b+I}\|c_{1}\|\cdot \|c_{2}\| \leqslant \|a+I\|\cdot \|b+I\|.}

Powyższa nierówność kończy dowód, ponieważ każdy element A/ I jest postaci a + I dla pewnego a ∈ A.

Z ciągłości działań w algebrze Banacha wynika, że jeżeli I jest dowolnym ideałem w A, to jego domknięcie również jest ideałem w A.

Przykłady

Niech X będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Wówczas każdy domknięty ideał I w C(X) jest postaci:

{\displaystyle I=\{f\in C(X)\colon f|_{K}=0\}}

dla pewnego zwartego podzbioru K ⊆ X. Algebra ilorazowa C(X)/I jest wówczas izometrycznie izomorficzna jako algebra Banacha z C ₀(X \ K).

Dla każdej przestrzeni Banacha E, zbiór K(E) złożony ze wszystkich operatorów zwartych na E jest domkniętym ideałem w B(E). Algebra ilorazowa B(E)/K(E) bywa nazywana algebrą Calkina przestrzeni E (czasami nazwa ta jest rezerwowana dla przypadku, gdy E jest ośrodkową przestrzenią Hilberta).

Przemienne algebry Banacha

Podstawowym przykładem przemiennej algebry Banacha jest algebra C ₀(X) funkcji ciągłych o wartościach skalarnych na lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa X, które znikają w nieskończoności. Jeżeli A jest przemienną algebrą Banacha, to rodzina jej maksymalnych ideałów modularnych Δ _A z topologią Gelfanda jest (możliwie pustą) przestrzenią lokalnie zwartą Hausdorffa. Transformata Gelfanda:

{\displaystyle \Phi \colon A\to C_{0}(\Delta _{A})}

jest ciągłym homomorfizmem, który jest różnowartościowy i ma gęsty obraz w przypadku, gdy A jest pół-prosta w sensie Jacobsona, tj. gdy niezerowe funkcjonały liniowo-multiplikatywne oddzielają punkty w A.

Zobacz też

• C*-algebra
• sprzężona algebra Banacha

Przypisy

Bibliografia

Ronald G. Douglas: Banach Algebra Techniques in Operator Theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1998.

Eberhard Kaniuth: A Course in Commutative Banach Algebras. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2009, seria: Grad. Texts in Math., vol. 246.

Richard V. Kadison, John. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Elementary Theory. Nowy Jork: Academic Press, 1983.

Literatura dodatkowa

William Arveson: A Short Course on Spectral Theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2001. Brak numerów stron w książce.

Linki zewnętrzne

Banach algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].