Algebra AF
Algebra AF (z ang. approximately finite-dimensional) to C*-algebra A, która zawiera rosnący ciąg skończenie wymiarowych pod-C*-algebr (Bn) (tj. Bn ⊆ Bn + 1 dla każdej liczby naturalnej n), przy czym suma tych podalgebr jest gęsta w A, co oznacza, że:
A = ⋃n=1∞Bn.
Intuicyjnie, algebry AF to C*-algebry, które lokalnie przypominają skończenie wymiarowe C*-algebry. Algebry te stanowią istotną klasę C*-algebr, ponieważ można je klasyfikować przy pomocy K-teorii.
Charakteryzacja algebr AF
Dla ośrodkowej C*-algebry A, poniższe warunki są równoważne:
- A jest algebrą AF,
- A jest granicą prostą ciągu skończenie wymiarowych C*-algebr,
- Dla każdego skończonego zbioru {a1, a2, …, an} ⊆ A oraz dla każdego ε > 0 istnieje skończenie wymiarowa C*-algebra B ⊆ A oraz elementy {b1, b2, …, bn} ⊆ B, takie że:
‖aj − bj‖ ≤ ε (j ≤ n).
Podstawowe własności
Bezpośrednio z definicji wynika, że każda algebra AF jest ośrodkowa. Jako granice proste algebr skończenie wymiarowych, które są nuklearne, każda algebra AF także ma właściwości nuklearne. Ponadto, granice proste, ilorazy i iloczyny tensorowe algebr AF również są AF. Pod-C*-algebry algebr AF zazwyczaj nie są AF, jednak dziedziczne podalgebry algebr AF są AF.
Brown wykazał, że jeżeli:
0 → I → A → B → 0
jest krótkim ciągiem dokładnym C*-algebr, a I i B są AF, to również A jest AF.
Jeśli A i B są dwiema C*-algebrami, dla których zachodzi:
A ⊗ K ≅ B ⊗ K,
gdzie K oznacza C*-algebrę operatorów zwartych na ℓ2, a A jest AF, to B także jest AF. Rzeczywiście, A ⊗ K jest AF, a więc także B ⊗ K. Algebra B jest izomorficzna z dziedziczną podalgebrą B ⊗ K, więc jest AF.
Przykłady
Algebra operatorów zwartych na ośrodkowej przestrzeni Hilberta
Najbardziej oczywistym przykładem algebry AF jest algebra K operatorów zwartych na ℓ2. Jest ona określona przez ciąg inkluzji:
M1(C) ⊂ M2(C) ⊂ M3(C) ⊂ M4(C) …
Diagram Bratellego dla algebry operatorów zwartych jest więc:
1 → 2 → 3 → 4 → 5 → …
Można również uzyskać algebrę K1 operatorów zwartych na ℓ2 z dołączoną jedynką, rozważając ciąg:
Bn = C ⊕ Mn(C) (n ≥ 1)
oraz *-homomorfizmy φn: Bn → Bn+1 określone wzorami:
x ⊕ (x11 … x1j …) ⟼ φn(x ⊕ (x11 … x1j …)) = x ⊕ (x11 … x1j 0 …).
Odpowiadający diagram Bratellego w tej sytuacji jest:
1 → 1 → 1 → 1 → 1 …
↘ ↘ ↘ ↘
1 → 2 → 3 → 4 → 5 …
Algebra stowarzyszona z ciągiem Fibonacciego
Niech f0, f1, f2, … będzie ciągiem Fibonacciego, tj. f0 = f1 = 1 oraz fn = fn-1 + fn-2 dla n ≥ 2. Niech także:
An = Mfn(C) ⊕ Mfn-1(C) (n ≥ 1)
oraz dane będą *-homomorfizmy φn: An → An+1 określone wzorami:
φn((x,y)) = ((x,0),(0,y),x).
Granica prosta ciągu (An, φn) jest algebrą AF, której grupa K0 jest izomorficzna z:
ℤ + γℤ,
gdzie γ oznacza złoty podział.
Inną istotną klasą algebr AF są tak zwane algebry UHF.
Przypisy
Bibliografia
M. Rørdam, Classification of nuclear simple C*-algebras, w: Classification of nuclear C*-algebras. Entropy in operator algebras, Encyclopaedia Math. Sci. 126, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002.
