Algebra abstrakcyjna
Algebra abstrakcyjna (wcześniej znana jako algebra współczesna) to gałąź matematyki, która analizuje struktury algebraiczne przy pomocy homomorfizmów oraz innych narzędzi. Często do algebry abstrakcyjnej zalicza się również takie dziedziny matematyczne jak: algebra liniowa, elementarna teoria liczb oraz matematyka dyskretna. Na przykład, Ash przypisał do algebry abstrakcyjnej różne obszary matematyki, w tym: logikę matematyczną, podstawy matematyki, elementarną arytmetykę, elementarną teorię liczb, nieformalną teorię grup, algebrę liniową oraz teorię operatorów liniowych.
Nazwa algebra abstrakcyjna została wprowadzona na początku XX wieku, aby odróżnić ją od innych gałęzi algebry.
Przykłady struktur algebraicznych
Do struktur algebraicznych można zaliczyć:
- grupy, półgrupy i grupoidy;
- ciała, pierścienie i ideały;
- przestrzenie wektorowe i moduły;
- algebry nad ciałami.
Rola w matematyce
Algebraik Claude Chevalley twierdził, że algebra jest przede wszystkim językiem matematyki, który nie istnieje samodzielnie, lecz jego rozwój jest uzależniony od potrzeb innych dziedzin matematycznych. Hermann Weyl w artykule „Topologie und abstrakte Algebra als zwei Wege mathematischen Verstandisse” z 1932 roku zauważył, że algebra abstrakcyjna oraz topologia są kluczowymi sposobami zrozumienia matematyki.
Takie postrzeganie roli algebry abstrakcyjnej w matematyce może uzasadniać algebraizację całej matematyki, która rozpoczęła się na przełomie XIX i XX wieku. Algebraizacja matematyki polega na abstrakcyjnym formułowaniu problemów matematycznych w postaci algebraicznej. Wyniki osiągane tą metodą często łączą wiele pozornie odległych dziedzin matematyki i bywają zaskakujące.
Przypisy
Bibliografia
Bolesław Gleichgewicht, Elementy algebry abstrakcyjnej, Warszawa 1974.
Linki zewnętrzne
Eric W.E.W. Weisstein, Abstract Algebra, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-06-01].
