Algebra

Algebra

Algebra (arab. ‏الجبر‎, al-dżabr) to jedna z kluczowych gałęzi matematyki, która zajmuje się różnorodnymi strukturami algebraicznymi, czyli zbiorami, które są wyposażone w działania. Takie struktury często określane są jako algebry ogólne. Przykładem podstawowego obiektu w tej dziedzinie są liczby rzeczywiste z klasycznymi działaniami arytmetycznymi oraz liczby zespolone, które rozszerzają ten zbiór, wprowadzając nowe pojęcia do klasycznej algebry.

W historii, algebra była nauką skupioną na badaniu równań algebraicznych, ich układów oraz ogólnych tożsamościach, które regulują manipulację symbolami zmiennych. W szczególności koncentrowano się na analizie wielomianów z zmiennymi rzeczywistymi i zespolonymi, ich rozkładu na czynniki (faktoryzacji), układach równań liniowych oraz dwumianie Newtona. Tematy te są często określane jako algebra elementarna. Badania te doprowadziły do pojawienia się powiązanych obiektów, takich jak macierze, wyznaczniki czy grupy permutacji. W XIX wieku wprowadzono nowe struktury, takie jak kwaterniony oraz bardziej ogólne wektory i tensory. Rozwój algebry Boole’a w logice oraz teorii mnogości, jak również arytmetyki modularnej i algebraicznej teorii liczb, zyskały na znaczeniu dzięki badaniu liczb całkowitych Gaussa. W tym okresie sformalizowano różne własności działań oraz wprowadzono kluczowe pojęcie izomorfizmu, które definiuje analogie między strukturami. W ten sposób algebra przekształciła się w szerszą dziedzinę, badającą m.in. abstrakcyjne grupy i ich różne przypadki wzbogacone o dodatkowe operacje, takie jak przestrzenie liniowe i pierścienie, w tym ciała. To przyczyniło się do redefinicji matematyki, która przestała być tylko nauką o liczbach i figurach.

Algebra ma długą historię nieprzerwanego rozwoju oraz wpływu na inne obszary matematyki i jej zastosowania. Jest jedną z najstarszych dziedzin matematycznych, wykształconą już w starożytnej Mezopotamii, a następnie rozwijaną przez matematyków z Grecji, Indii, świata islamskiego oraz europejskiego średniowiecza. Osiągnięcia chińskich matematyków, takie jak chińskie twierdzenie o resztach, stanowiły pomost między teorią liczb a algebrą elementarną, a później zostały wchłonięte przez algebrę. W czasach nowożytnych algebra przyczyniła się do postępu geometrii poprzez rozwój geometrii analitycznej, co z kolei wpłynęło na powstanie analizy. Problemy stawiane przez algebrę oraz jej brak samowystarczalności przyczyniły się również do rozwoju kombinatoryki i metod numerycznych. W XIX wieku algebra pomogła rozwiązać klasyczne problemy geometrii związane z konstrukcjami. Wtedy też algebraicznie zunifikowano opis różnych rozwijanych obszarów geometrii, redefiniując ją w ramach programu erlangeńskiego. Na liście problemów Hilberta, dotyczących największych wyzwań w matematyce XX wieku, wiele z nich dotyczyło algebry, a na niektóre z tych pytań udało się znaleźć odpowiedzi. W XXI wieku algebra nadal się rozwija, stanowiąc język i narzędzie dla wielu innych dziedzin, takich jak geometria algebraiczna, topologia algebraiczna, teoria węzłów, analiza, a szczególnie analiza funkcjonalna czy teoria języków formalnych. Metody algebraiczne są także wykorzystywane w teorii grafów, a w geometrii różniczkowej stworzyły geometrię nieprzemienną. Do algebry zalicza się również teorię kategorii, która unifikuje różne obszary matematyki, oferując alternatywną podstawę do teorii mnogości. Wpływ algebry wykracza poza matematykę i naukę. Litera X, używana jako podstawowe oznaczenie zmiennej i niewiadomej, stała się symbolem niewiedzy lub tajemnicy, wpłynęła m.in. na nazwę promieni rentgenowskich, partii politycznych oraz popkulturę.

Osoba zajmująca się algebrą to algebraik lub algebraiczka. Przedstawiciele tej dziedziny zdobyli najwyższe nagrody przyznawane matematyków, takie jak Medal Fieldsa czy Nagroda Abela. Istnieją także wyróżnienia w całości poświęcone algebrze, takie jak jedna z kategorii Nagrody Cole’a przyznawanej przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne (ang. AMS).

Historia rozwoju

Starożytność babilońska i grecka

Wczesne formy algebry zostały stworzone przez Babilończyków i Greków.

Korzenie algebry sięgają czasów matematyków babilońskich, którzy opracowali zaawansowany system arytmetyczny, pozwalający na wykonywanie obliczeń w sposób algorytmiczny. Babilończycy stworzyli wzory, dzięki którym możliwe było rozwiązywanie problemów, które dzisiaj określamy jako równania liniowe czy kwadratowe. Większość matematyki egipskiej tej epoki, podobnie jak matematycy greccy czy chińscy w I tysiącleciu przed naszą erą, rozwiązywała te równania głównie metodami geometrycznymi, jak te opisane w Papirusie Matematycznym Rhinda oraz Elementach Euklidesa. Prace Greków nad geometrią, zapisane w Elementach, stworzyły podstawy do uogólnienia formuł rozwiązań konkretnych problemów oraz ich zastosowania w rozwiązywaniu bardziej ogólnych systemów równań, jednak nie zdawano sobie z tego sprawy aż do rozwoju matematyki w średniowiecznym Islamie.

Przed czasami Platona, grecka matematyka przeszła znaczną transformację. Grecy stworzyli algebrę geometryczną, w której wyrazy algebraiczne były wyrażane za pomocą boków obiektów geometrycznych, zazwyczaj prostych, podpisanych literami. Diofantos, grecki matematyk z Aleksandrii oraz autor serii ksiąg Arytmetyka, zajmował się rozwiązywaniem równań algebraicznych, co doprowadziło do współczesnej postaci równań diofantycznych w teorii liczb.

Matematyk hellenistyczny, Heron oraz Diofantos, kontynuowali tradycje Egiptu i Babilonu, mimo że Arytmetyka Diofantosa oraz Brahmasphutasiddhanta Brahmagupty były na znacznie wyższym poziomie. Na przykład, pierwsze kompletne arytmetyczne rozwiązanie równania kwadratowego (z uwzględnieniem zera i rozwiązań ujemnych) zostało opisane przez Brahmaguptę w jego dziele Brahmasphutasiddhanta. Z kolei perscy i arabscy matematycy stworzyli znacznie bardziej zaawansowane metody algebraiczne. Mimo że Diofantus i matematycy babilońscy w dużej mierze korzystali z metod ad hoc do rozwiązywania równań, wkład Al-Khwarizmiego był fundamentalny. Rozwiązywał on równania liniowe i kwadratowe bez użycia symboli algebraicznych, liczb ujemnych czy zera, co pozwoliło mu wyróżnić różne typy równań.

Indie i Chiny

Matematyk indyjskich, Mahavira i Bhaskara II, perski Al-Karaji oraz chiński Zhu Shijie zajmowali się rozwiązywaniem różnych przypadków równań wielomianowych trzeciego, czwartego, piątego i wyższych stopni, stosując metody numeryczne.

Świat islamski i średniowieczna Europa

Tradycje opisane powyżej miały bezpośredni wpływ na Muḥammada ibn Mūsā al-Khwārizmīego, znanego perskiego matematyka urodzonego w Chorezmie w Uzbekistanie. Napisał on później al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal (Krótka księga o rachowaniu przez dopełnianie i równoważenie), co sprawiło, że algebra stała się niezależną dziedziną matematyki, oddzieloną od arytmetyki i geometrii. Słowo algebra (arab. الجبر, al-dżabr) dosłownie oznacza „przywrócenie” i pochodzi z tej książki. Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī działał najprężniej pod Al-Ma’moun w Bagdadzie w latach 813-833, a zmarł około 840 roku. Książka ta została przetłumaczona na łacinę w XII wieku i przyjęła nazwę „Algebra”. Nazwisko matematyka, al-Khwārizmī, zostało zlatynizowane na „Algorizmi”, co dało początek terminowi algorytm. Zarówno Diofantos, jak i al-Khwārizmī są uważani za „ojców algebry”.

Innemu perskiemu matematykowi, Omarowi Khayyamowi, przypisuje się określenie podstaw geometrii algebraicznej oraz znalezienie ogólnego rozwiązania równania geometrycznego sześciennego. Inny perski matematyk, Sharaf al-Dīn al-Tūsī, opracował algebraiczne rozwiązania numeryczne dla różnych przypadków równań sześciennych oraz rozwinął koncepcję funkcji.

W XIII wieku rozwiązanie równania sześciennego przez Fibonacciego zainicjowało ożywienie w europejskiej algebrze, gdzie rozwój ten postępował bardzo szybko.

Wczesna nowożytność

Kolejnym przełomowym wydarzeniem w dalszym rozwoju algebry było ogólne algebraiczne rozwiązanie równań trzeciego i czwartego stopnia, opracowane w XVI wieku przez Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglię, Girolamo Cardano oraz Lodovico Ferrari. Cardano i Rafael Bombelli jako pierwsi opisali liczby zespolone. Prace François Viète’a nad nową algebrą pod koniec XVI wieku były istotnym krokiem w kierunku nowoczesnej algebry. W 1637 roku Kartezjusz opublikował La Géométrie, wprowadzając geometrię analityczną i nowoczesną notację algebraiczną.

Pojęcie wyznacznika zostało opracowane przez japońskiego matematyka Kowa Sekiego w XVII wieku, a niezależnie kontynuował je Gottfried Leibniz, rozwiązując układy równań liniowych z wykorzystaniem macierzy.

XIX wiek

XIX stulecie przyniosło rewolucję w algebrze, w której rozwiązano tradycyjne problemy i znacznie poszerzono zakres badań, tworząc algebrę abstrakcyjną. Kluczowe kroki w tym kierunku podjęli m.in. Niels Henrik Abel oraz Évariste Galois, których twierdzenia dotyczące równań wielomianowych stanowią fundament teorii Galois. Teoria grup, leżąca u podstaw tej dziedziny, była rozwijana przez Marie Ennemond Camille Jordana, Leopolda Kroneckera, Felixa Kleina, Ferdinanda Georga Frobeniusza, Richarda Dedekinda, Otto Ludwiga Höldera, Petera Sylowa oraz Mariusza Sophusa Lie, który otworzył nową dziedzinę – teorię grup Liego.

Augustus De Morgan wprowadził relacje w algebrze, a George Boole opisał związek algebry z logiką.

Rozwój algebry liniowej i teorii algebr nad ciałem:

• William Rowan Hamilton wprowadził kwaterniony, będące pierwszym przykładem liczb hiperzespolonych;
• Josiah Willard Gibbs i Oliver Heaviside uprościli opis wektorów w przestrzeni trójwymiarowej, zastępując algebrę kwaternionów iloczynem skalarnym i wektorowym;
• Arthur Cayley opisał algebrę macierzy, będącą historycznym przykładem algebry nieprzemiennej;
• Znaczące prace w tej dziedzinie ogłosili także James Joseph Sylvester, Hermann Grassmann oraz William Kingdon Clifford.

W XIX wieku rozwinięto również zastosowanie algebry w teorii liczb, co doprowadziło do powstania algebraicznej teorii liczb.

XX wiek

XX stulecie przyniosło ważne osiągnięcia w teorii grup skończonych. Udowodniono m.in. twierdzenie Feita-Thompsona o rozwiązalności oraz zakończono klasyfikację skończonych grup prostych, co było możliwe dzięki opisaniu nowych obiektów, takich jak grupa monstrum.

W XX wieku rozwinięto także nowe dziedziny matematyki, takie jak algebra homologiczna oraz teoria kategorii, która leży na pograniczu algebry. Zdefiniowano również ściśle (aksjomatycznie) przedmiot badań algebry liniowej oraz rozwinięto jej obliczeniowy aspekt, np. poprzez opisanie algorytmu Strassena.

Dla algebry odkryto nowe zastosowania, m.in. w:

• fizyce – gdzie mechanika kwantowa posługuje się językiem przestrzeni Hilberta;
• informatyce – zastosowano algorytm PageRank na masową skalę.

W latach 20. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne (ang. AMS) ustanowiło Nagrodę Cole’a w dziedzinie algebry.

Znaczący algebraicy

• Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi (780–850) – twórca terminu algebra;
• Scipione del Ferro (1465–1526) – jako pierwszy znalazł wzory na rozwiązania równań kubicznych;
• Niccolò Tartaglia (1500–1557) – niezależnie od del Ferro rozwiązał równanie 3. stopnia;
• Girolamo Cardano (1501–1576) – rozwinął wyniki del Ferro i Tartaglii, otwierając badania nad liczbami zespolonymi;
• Lodovico Ferrari (1522–1565) – zredukował problem równania 4. stopnia do równania kubicznego;
• Rafael Bombelli (1526–1572) – prowadził pierwsze systematyczne badania nad liczbami zespolonymi;
• François Viète (1540–1603) – autor tożsamości opisujących wielomiany dowolnego stopnia;
• René Descartes (1596–1650) – znany z reguły znaków dotyczącej pierwiastków wielomianów;
• Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) – jeden z pionierów teorii wyznaczników;
• Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (1651–1708) – twórca jednego z przekształceń równań wielomianowych;
• Abraham de Moivre (1667–1754) – autor jednej z tożsamości dotyczących liczb zespolonych;
• Gabriel Cramer (1704–1752) – autor wzorów na rozwiązania niektórych układów równań liniowych;
• Leonhard Euler (1707–1783) – znany z tożsamości związanej z liczbami zespolonymi oraz symbolu jednostki urojonej (i);
• Joseph Louis Lagrange (1736–1813) – autor metody systematycznego wyprowadzania wzorów na miejsca zerowe wielomianów (rezolwenta); pionier użycia permutacji w algebrze;
• Caspar Wessel (1745–1818) – pionier użycia płaszczyzny zespolonej do opisu liczb;
• Pierre Simon de Laplace (1749–1827) – autor jednej z tożsamości dotyczących wyznaczników;
• Paolo Ruffini (1765–1822) – współautor pierwszego dowodu nierozwiązywalności ogólnego równania 5. stopnia przez pierwiastniki;
• Jean-Robert Argand (1768–1822) – współautor pierwszego pełnego dowodu zasadniczego twierdzenia algebry; poprawił pracę Gaussa i uogólnił ją na wielomiany zespolone;
• Carl Friedrich Gauss (1777–1855) – związany z zasadniczym twierdzeniem algebry – autor częściowego dowodu, który później poprawił Argand; klasyk arytmetyki modularnej, sformułowanej w języku grup cyklicznych;
• Niels Henrik Abel (1802–1829) – drugi, niezależny współautor twierdzenia Abela-Ruffiniego o wielomianach 5. stopnia;
• William Rowan Hamilton (1805–1865) – autor pierwszych publikacji o kwaternionach;
• Hermann Grassmann (1809–1877) – pionier algebry liniowej i teorii algebr Grassmanna, będących podstawą teorii form różniczkowych;
• Évariste Galois (1811–1832) – autor kompletnej teorii rozwiązywalności wielomianów przez pierwiastniki; pionier teorii grup, teorii ciał oraz łączącej je teorii Galois;
• James Joseph Sylvester (1814–1897) – pionier algebry liniowej, upamiętniony nazwą twierdzenia o formach kwadratowych;
• Arthur Cayley (1821–1895) – wprowadził do algebry oktoniony, znane również jako oktawy Cayleya;
• Leopold Kronecker (1823–1891) – upamiętniony nazwą twierdzenia o układach równań liniowych;
• Richard Dedekind (1831–1916) – teoretyk grup, pierścieni i krat;
• Peter Sylow (1832–1918) – teoretyk grup skończonych;
• Marie Ennemond Camille Jordan (1838–1922) – autor podstawowego twierdzenia w teorii grup skończonych;
• Josiah Willard Gibbs (1839–1903) – współtwórca podstawowej algebry wektorów euklidesowych, opartej na iloczynie skalarnym i wektorowym;
• Marius Sophus Lie (1842–1899) – twórca teorii grup i algebr Liego, znanych też jako teoria Liego;
• William Kingdon Clifford (1845–1879) – badacz algebr Clifforda, łączących osiągnięcia Hamiltona i Grassmanna;
• Ferdinand Georg Frobenius (1849–1917) – autor twierdzenia charakteryzującego liczby zespolone i kwaterniony jako unikalne w pewnej klasie algebr;
• Felix Klein (1849–1925) – teoretyk grup, twórca programu erlangeńskiego;
• Oliver Heaviside (1850–1925) – współtwórca algebry wektorów;
• William Burnside (1852–1927) – teoretyk grup skończonych; autor problemu, który czekał na rozwiązanie przez dekady;
• Otto Ludwig Hölder (1859–1937) – teoretyk grup skończonych;
• Emmy Noether (1882–1932) – kojarzona z pierścieniami noetherowskimi;
• Emil Artin (1898–1962) – badacz teorii grup oraz teorii Galois;
• Hans Julius Zassenhaus (1912–1991) – autor lematu Zassenhausa w teorii grup;
• John Griggs Thompson (1932–) – współautor kluczowego twierdzenia o rozwiązalności grup skończonych;
• Peter Scholze (1987–) – autor cenionych prac z geometrii algebraicznej, laureat m.in. Medalu Fieldsa oraz Nagrody Cole’a w dziedzinie algebry.

Przykłady

Wyrażenia algebraiczne:

Przekształcenia wyrażenia algebraicznego:

Podział

Niektóre działy algebry obejmują:

• teoria równań algebraicznych
• algebra liniowa
• algebra wieloliniowa
• algebra abstrakcyjna
• teoria modułów
• teoria monoidów i półgrup
• teoria grup
• teoria pierścieni
• teoria pierścieni z dzieleniem (ciał nieprzemiennych)
• teoria prawie ciał
• teoria ciał
• teoria algebr Clifforda
• teoria algebr Jordana
• teoria algebr Liego i grup Lie
• teoria krat Birkhoffa
• algebra Boole’a
• algebra homologiczna
• algebra topologiczna
• algebra uniwersalna
• algebraiczna K-teoria
• geometria algebraiczna
• teoria kategorii
• teoria kodów

Zobacz też

• *-pierścień
• algebra Wienera
• algebra zupełna zbiorów

Przypisy

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

Skrypt do przedmiotu Algebra I na wydziale MIMUW autorstwa A. Bojanowska, P. Traczyk (.pdf)

Anglojęzyczne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Algebra, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-06-01].

Algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-10].

VaughanV. Pratt VaughanV., Algebra, [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy, CSLI, Stanford University, 4 sierpnia 2017, ISSN 1095-5054 [dostęp 2020-01-23] (ang.).