Aksjomatyka Hilberta

Aksjomatyka Hilberta to zbiór aksjomatów dotyczących geometrii euklidesowej, który został przedstawiony przez Davida Hilberta w 1899 roku w jego dziele Grundlagen der Geometrie (Podstawy geometrii). System ten stanowi fundament dla większości nowoczesnych interpretacji geometrii euklidesowej. Należy zauważyć, że aksjomatyka przedstawiona tutaj nie pochodzi z pierwotnej pracy Hilberta (w której pierwotnie znajdowało się 21 aksjomatów), lecz z późniejszych jego opracowań i obejmuje 20 aksjomatów.

Hilbert zaprezentował swój system po tym, jak w końcu XIX wieku odkryto, że zestaw aksjomatów Euklidesa, zamieszczony w Elementach, zawierał pewne luki. System Hilberta jest kompletny.

Pojęcia pierwotne (niedefiniowalne) to: punkt, prosta, płaszczyzna, leżeć na, zawierać się w, pomiędzy, przystawać. Aksjomaty, które opisują właściwości tych pojęć, są podzielone na różne grupy.

I. Aksjomaty incydencji

Dla dowolnych dwóch punktów A i B istnieje prosta a, która zawiera oba te punkty.
Dla dowolnych dwóch różnych punktów A i B istnieje maksymalnie jedna prosta, która je łączy.
Na każdej prostej znajdują się co najmniej dwa różne punkty. Istnieją przynajmniej trzy różne punkty, które nie leżą na jednej prostej.
Dla dowolnych trzech punktów A, B, C, które nie są współliniowe, istnieje płaszczyzna α, która zawiera wszystkie te trzy punkty. Każda płaszczyzna zawiera co najmniej jeden punkt.
Dla dowolnych trzech punktów A, B, C, które nie leżą na tej samej prostej, istnieje co najwyżej jedna płaszczyzna α, która zawiera wszystkie te punkty.
Jeżeli dwa punkty A i B, leżące na prostej a, znajdują się w płaszczyźnie α, to każdy punkt prostej a również leży na płaszczyźnie α.
Jeżeli dwie płaszczyzny α i β mają wspólny punkt A, to mają co najmniej jeszcze jeden wspólny punkt B, różny od A.
Istnieją co najmniej cztery punkty, które nie leżą w jednej płaszczyźnie.

II. Aksjomaty uporządkowania

Jeżeli punkt B leży pomiędzy punktami A i C, to punkty A, B, C są różnymi punktami na tej samej prostej.
Dla dowolnych punktów A i C istnieje punkt B na prostej AC, taki że C znajduje się pomiędzy A i B.
Dla dowolnych trzech punktów A, B, C na tej samej prostej, tylko jeden z nich leży pomiędzy pozostałymi dwoma.
Dla dowolnych trzech punktów A, B, C, które nie leżą na jednej prostej oraz dla prostej a w płaszczyźnie ABC, która nie zawiera żadnego z tych punktów: jeśli prosta a ma punkt wspólny z odcinkiem AB, to także ma punkt wspólny z odcinkiem AC lub BC.
Jest to tak zwany aksjomat Pascha, nazwany na cześć niemieckiego matematyka Moritza Pascha, który jako pierwszy zauważył jego istotność w systemie aksjomatów Euklidesa.

III. Aksjomaty przystawania

Dla punktów A i B leżących na prostej a oraz punktu A’ na a lub innej prostej a’, istnieje punkt B’ na danej stronie a’, taki że odcinki AB i A’B’ są przystające.
Jeżeli odcinki A’B’ i A”B” są przystające do tego samego odcinka AB, to odcinek A’B’ przystaje także do odcinka A”B.
Dla danej prostej a oraz odcinków AB i BC, które mają wspólny tylko punkt B, oraz dla tej samej lub innej prostej a’ i odcinków A’B’ i B’C’, które mają wspólny tylko punkt B: jeśli AB przystaje do A’B’ oraz BC przystaje do B’C’, to AC przystaje do A’C’.
Jeżeli ∠ABC jest kątem, a B’C’ jest półprostą, to na każdej stronie prostej B’C’ istnieje dokładnie jedna półprosta B’A’, taka że kąt ∠A’B’C’ przystaje do kąta ∠ABC. Z tego wynika, że każdy kąt przystaje do samego siebie.
Jeśli dla dwóch trójkątów ABC i A’B’C’ odcinki AB, BC i AC przystają odpowiednio do A’B’, B’C’ i A’C’, to trójkąty ABC i A’B’C’ są przystające.

Aksjomat równoległości

Dla danej prostej a oraz punktu B, który na niej nie leży, w płaszczyźnie zawierającej a i B istnieje co najwyżej jedna prosta przechodząca przez B, która nie ma punktów wspólnych z a. Jest to inne sformułowanie słynnego piątego aksjomatu Euklidesa.

Aksjomaty ciągłości

(Aksjomat Archimedesa): Dla odcinków AB i CD istnieje taka liczba naturalna n, że odkładając odcinek CD n razy od punktu A na prostej AB, punkt końcowy przekroczy punkt B.
Nie istnieje rozszerzenie relacji zdefiniowanej na dowolnym podzbiorze punktów prostej, które zachowuje uporządkowanie oraz przystawanie odcinków i spełnia wszystkie aksjomaty grup I–III oraz aksjomat Archimedesa.

Linki zewnętrzne

O aksjomatyce Hilberta. [archiwizowane z tego adresu (2013-12-13)].
Eric W.E.W. Weisstein, Hilbert’s Axioms, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).