Aksjomaty Zermela-Fraenkla

Aksjomaty Zermela-Fraenkla, nazywane również aksjomatyką Zermela-Fraenkla, to zbiór aksjomatów w teorii mnogości, który został zaproponowany przez Ernsta Zermela w 1904 roku i później rozszerzony przez Abrahama Fraenkla. Kluczowym dodatkiem Fraenkla do teorii Zermela były funkcje.

Często używa się symboliki ZF dla tej aksjomatyki. Z uwagi na specyfikę jednego z aksjomatów, znanego jako aksjomat wyboru, obok ZF stosuje się również oznaczenie ZFC, które wskazuje, czy dowód danego twierdzenia wymaga zastosowania aksjomatu wyboru.

Historia

W przeszłości zbiory były postrzegane w sposób intuicyjny. Na przykład, przyjmowano, że każda cecha pociąga za sobą istnienie zbioru elementów, które tę cechę posiadają. Takie podejście prowadziło jednak do sprzeczności, jak choćby antynomia Russella, która powstaje, gdy uznamy, że zbiór x nie jest własnym elementem, co prowadzi do sprzeczności w definicji zbioru. W miarę rozwoju teorii matematycy zauważyli, że ich intuicje dotyczące zbiorów różnią się, co doprowadziło do przekonania, że teoria mnogości wymaga solidnego systemu aksjomatów.

Pierwsza próba skonstruowania takiego systemu miała miejsce w 1904 roku, kiedy to Zermelo wprowadził pojęcia zbioru oraz relacji bycia elementem ∈. Jego koncepcja obejmowała aksjomaty dotyczące jednoznaczności, istnienia zbioru pustego, sumy zbiorów, zbioru potęgowego, nieskończoności oraz aksjomat podzbiorów dla danej formuły, choć ten ostatni został uznany za niejasny.

W 1908 roku Zermelo przedstawił pierwszy zestaw aksjomatów teorii mnogości, jednak ta wersja nie pozwalała na konstrukcję liczby porządkowych. Mimo że większość matematyki mogła być rozwijana bez ich stosowania, liczby porządkowe były kluczowe w badaniach związanych z teorią mnogości. Dodatkowo jeden z aksjomatów Zermela odnosił się do pojęcia „określonej” właściwości. W 1922 roku Abraham Fraenkel oraz Thoralf Skolem, niezależnie od siebie, zaproponowali uściślenie tego pojęcia jako właściwości, które można sformułować w rachunku predykatów z równością, gdzie jedynym symbolem spoza logiki był binarny predykat „należenia do”, oznaczany symbolem ∈. Również niezależnie zaproponowali oni zastąpienie aksjomatu podzbiorów aksjomatem zastępowania. Dodając do teorii Zermela aksjomat regularności, zaproponowany przez Zermela w 1930 roku, uzyskano teorię ZF.

Aksjomaty Zermela-Fraenkla

Aksjomat ekstensjonalności

Jeśli zbiory a i b mają identyczne elementy, to są one tożsame:

∀a ∀b (∀x(x ∈ a ⇔ x ∈ b) ⇒ a = b)

Aksjomat zbioru pustego

Istnieje zbiór, który nie ma żadnych elementów:

∃x ∀y ¬(y ∈ x)

Zgodnie z aksjomatem ekstensjonalności, istnieje tylko jeden zbiór o tej właściwości: zbiór pusty, oznaczany symbolem ∅.

Aksjomat podzbiorów

Inne nazwy: aksjomat wyróżniania, aksjomat wycinania.

Dla każdego zbioru b istnieje zbiór a, który składa się z tych i tylko tych elementów x zbioru b, które mają właściwość φ:

∀p₁ … ∀pₙ ∀b ∃a ∀x ( x ∈ a ⇔ (x ∈ b ∧ φ(x, b, p₁, …, pₙ)) )

Aksjomat podzbiorów można wyprowadzić z aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu zastępowania.

Aksjomat pary

Dla dowolnych zbiorów a i b istnieje zbiór c, którego elementami są dokładnie zbiory a i b:

∀a ∀b ∃c ∀x ( x ∈ c ⇔ (x = a ∨ x = b) )

Aksjomat sumy

Dla dowolnej rodziny zbiorów r istnieje zbiór u, do którego należą dokładnie te elementy x, które należą do co najmniej jednego ze zbiorów w rodzinie r:

∀r ∃u ∀x ( x ∈ u ⇔ ∃a ( x ∈ a ∧ a ∈ r) )

Aksjomat zbioru potęgowego

Dla każdego zbioru x istnieje zbiór p, którego elementami są dokładnie podzbiory zbioru x:

∀x ∃p ∀z ( z ∈ p ⇔ ∀y ( y ∈ z ⇒ y ∈ x) )

Aksjomat nieskończoności

Istnieje zbiór induktywny:

∃x ( ∃a ( a ∈ x ∧ ∀b ¬(b ∈ a)) ∧ ∀c ( c ∈ x ⇒ ∃d ( d ∈ x ∧ ∀e ( e ∈ d ⇔ (e ∈ c ∨ e = c) ) ) ) )

Istnieje wiele takich zbiorów. Część wspólna wszystkich takich zbiorów określa zbiór liczb naturalnych.

Aksjomat zastępowania

Aksjomat podzbiorów jest jego słabszą wersją. Jeśli dla każdego x istnieje dokładnie jeden y, dla którego zachodzi Θ(x,y), to dla dowolnego zbioru X istnieje zbiór Y, taki że:

∀y ( y ∈ Y ⇔ ∃x ∈ X ( Θ(x, y) ))

Aksjomat regularności

Inna nazwa: aksjomat ufundowania. Każdy niepusty zbiór x ma element rozłączny z x:

∀x ( x ≠ ∅ ⇒ ∃y ( y ∈ x ∧ ¬(∃z ( z ∈ x ∧ z ∈ y)) ))

Aksjomat ten jest niezależny od pozostałych aksjomatów. Istnieją teorie, w których przyjmuje się jego negację.

Aksjomat wyboru

Dla dowolnej rodziny r zbiorów niepustych i parami rozłącznych istnieje selektor s (zbiór, do którego należy dokładnie jeden element z każdego zbioru w rodzinie):

∀r ( ∀a ( a ∈ r ⇒ a ≠ ∅ ) ∧ ∀a ∀b ( ( a ∈ r ∧ b ∈ r ∧ a ≠ b ) ⇒ ¬(∃x ( x ∈ a ∧ x ∈ b )) ) ) ⇒ ∃s ∀a ( a ∈ r ⇒ ∃!y ( y ∈ s ∧ y ∈ a )) )

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

Kazimierz K. Kuratowski, Andrzej A. Mostowski: Teoria Mnogości, „Monografie”, trzecie zmienione, 27, Monografie Matematyczne, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.

Literatura dodatkowa

Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7.

Agnieszka Wojciechowska: Elementy logiki i teorii mnogości. Warszawa: WN PWN, 1979. ISBN 83-01-00756-7.