Aksjomaty przeliczalności

Aksjomaty przeliczalności to właściwości topologiczne, które służą do klasyfikacji przestrzeni topologicznych na podstawie ich charakteru i ciężaru. W tym kontekście termin „aksjomat” ma jedynie znaczenie historyczne i nie powinien być interpretowany dosłownie.

Definicje aksjomatów przeliczalności

Przestrzeń topologiczna spełnia:

pierwszy aksjomat przeliczalności, gdy dla każdego punktu istnieje przeliczalna baza otoczeń;
drugi aksjomat przeliczalności, jeśli przestrzeń posiada przeliczalną bazę.

Przykłady i właściwości

Każda przestrzeń, która spełnia drugi aksjomat przeliczalności, automatycznie spełnia również pierwszy. Natomiast odwrotna implikacja jest fałszywa – dowolna przestrzeń metryczna spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności (przykładem przeliczalnej bazy lokalnej w danym punkcie jest rodzina kul otwartych z centrum w tym punkcie i wymiernymi promieniami), ale zazwyczaj nie spełnia drugiego aksjomatu przeliczalności.

Przykładem przestrzeni metrycznej, która nie spełnia drugiego aksjomatu przeliczalności, jest przestrzeń ℓ∞ (wszystkich ograniczonych ciągów liczbowych z metryką supremum). Rodzina wszystkich kul otwartych o środkach w punktach będących ciągami zero-jedynkowymi i promieniu mniejszym niż ¼ jest nieprzeliczalna i składa się z par rozłącznych zbiorów otwartych. Każda baza przestrzeni ℓ∞ musi zawierać podzbiór każdego elementu tej rodziny, co uniemożliwia jej przeliczalność).

Ogólnie, w kontekście dowolnej przestrzeni metrycznej, następujące właściwości są równoważne:

ośrodkowość,
własność Lindelöfa,
spełnianie drugiego aksjomu przeliczalności.

Każda przestrzeń topologiczna, która spełnia drugi aksjomat przeliczalności, jest ośrodkowa. Na przykład zbiór liczb rzeczywistych w standardowej topologii euklidesowej spełnia drugi aksjomat przeliczalności – przykładem przeliczalnej bazy mogą być ograniczone przedziały otwarte o wymiernych końcach.

Istnieją również przeliczalne przestrzenie całkowicie regularne, które nie spełniają nawet pierwszego aksjomu przeliczalności – przykładem jest przestrzeń Apperta.