Aksjomaty oddzielania w topologii
Aksjomaty oddzielania dotyczą określonych właściwości przestrzeni topologicznych. Termin „aksjomat” jest używany w tym kontekście z powodów historycznych, a te właściwości nie zajmują żadnej szczególnej pozycji wśród innych (choć niektóre z nich są często wymagane w rozważanych przestrzeniach). Oddzielanie odnosi się do wspólnego charakteru tych właściwości: każdy z aksjomatów odnosi się do oddzielania różnych obiektów w przestrzeniach topologicznych przy pomocy zbiorów otwartych, funkcji ciągłych lub innych metod.
Na wczesnym etapie rozwoju topologii, niektóre aksjomaty oddzielania były proponowane jako warunki definiujące przestrzenie topologiczne. Przykładowo, Felix Hausdorff postulował, by przestrzenie topologiczne spełniały warunek T2 (szczegóły poniżej).
W literaturze dotyczącej topologii istnieje wiele właściwości, które są określane jako aksjomaty oddzielania (przynajmniej przez ich autorów). Terminologia nie jest jednolita, a niektóre nazwy mogą mieć różne znaczenia. Czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do definicji terminów używanych w danym artykule lub książce.
Ciąg główny aksjomatów oddzielania
Wśród wielu właściwości oddzielania, szczególną rolę odgrywają aksjomaty oznaczane jako
Ti.
Litera T pochodzi od niemieckiego słowa Trennung (oddzielanie), natomiast indeksy i wskazują na siłę rozważanej właściwości. Ogólnie przyjmuje się, że wyższa wartość indeksu i wskazuje na silniejszy aksjomat. Ta nieformalna zasada wpływa na większą jednoznaczność nazewnictwa i zasadniczo znaczenie każdego z aksjomatów Ti jest ustalone.
Niech τ będzie topologią na zbiorze X. Powiemy, że przestrzeń topologiczna (X, τ) spełnia aksjomat:
- T0, jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów x, y ∈ X istnieje zbiór otwarty w X, który zawiera dokładnie jeden z tych punktów;
- T1, jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów x, y ∈ X istnieje zbiór otwarty U ⊆ X, taki że x ∈ U, ale y ∉ U;
- T2, jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów x, y ∈ X istnieją rozłączne zbiory otwarte U ⊆ X i V ⊆ X, takie że x ∈ U i y ∈ V;
- T3, jeśli X spełnia aksjomat T1 i dla każdego zbioru domkniętego F ⊆ X oraz dowolnego punktu x ∈ X \ F można znaleźć rozłączne zbiory otwarte U, V ⊆ X, takie że x ∈ U i F ⊆ V;
- T3½, jeśli X spełnia aksjomat T1 i dla każdego zbioru domkniętego F ⊆ X oraz dowolnego punktu x ∈ X \ F można znaleźć funkcję ciągłą f:X ⟶ [0, 1] taką, że f(x) = 0 i f(y) = 1 dla wszystkich punktów y ∈ F;
- T4, jeśli X spełnia aksjomat T1 i dla każdej pary rozłącznych zbiorów domkniętych E, F ⊆ X można znaleźć rozłączne zbiory otwarte U, V ⊆ X, takie że E ⊆ U i F ⊆ V;
- T5, jeśli każda podprzestrzeń przestrzeni X spełnia aksjomat T4;
- T6, jeśli X spełnia aksjomat T4 i każdy domknięty podzbiór X jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.
Często zamiast mówić „przestrzeń spełnia aksjomat T0„, możemy po prostu stwierdzić, że jest to przestrzeń T0. Podobnie dla innych aksjomatów.
Własności i przykłady
Każda przestrzeń metryczna jest T6. Zachodzą następujące implikacje:
- T6 ⇒ T5 ⇒ T4 ⇒ T3½ ⇒ T3 ⇒ T2 ⇒ T1 ⇒ T0,
gdzie Ti ⇒ Tj należy interpretować jako stwierdzenie, że każda przestrzeń topologiczna spełniająca aksjomat Ti spełnia także aksjomat Tj. Żadne z powyższych implikacji nie mogą być zastąpione przez równoważność.
Aksjomaty T0, T1, T2, T3, T3½, T5, T6 są właściwościami dziedzicznymi. Natomiast właściwość T4 nie jest dziedziczna, co było powodem wprowadzenia aksjomatu T5, czyli dziedzicznej normalności.
Następujące dwa twierdzenia wyjaśniają, dlaczego właściwości T5 oraz T6 są zaliczane do aksjomatów oddzielania:
Przestrzeń X spełnia aksjomat T5 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary zbiorów A, B ⊆ X takich, że A ∩ cl(B) = ∅ = cl(A) ∩ B istnieją zbiory otwarte U, V ⊆ X, takie, że A ⊆ U, B ⊆ V i U ∩ V = ∅.
Przestrzeń X spełnia aksjomat T6 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary rozłącznych domkniętych zbiorów A, B ⊆ X istnieje funkcja ciągła f:X ⟶ [0, 1] taka, że f-1(\{0\}) = A oraz f-1(\{1\}) = B.
Loading ...