Aksjomaty i konstrukcje liczb

Aksjomaty i konstrukcje liczb to metody precyzyjnego definiowania liczb, które funkcjonują w matematyce. Aksjomaty liczb definiują warunki, jakie muszą być spełnione przez obiekty i operacje na nich, aby mogły być uznane za liczby określonego typu (np. liczby naturalne, liczby wymierne itp.). Z kolei konstrukcje liczb to algebry, które zostały stworzone w taki sposób, aby spełniały odpowiednie aksjomaty dla danego typu liczb.

Nie istnieje jedna uniwersalna cecha, która odróżniałaby wszystkie liczby od innych elementów algebr, które nie są nazywane liczbami. Matematycy definiują różne typy liczb, takie jak „liczby naturalne”, „liczby całkowite” czy „liczby rzeczywiste”.

Mimo że przypisanie danemu obiektowi statusu liczby w dużej mierze opiera się na tradycji, to różne rodzaje liczb mają ściśle określone definicje. Definicje te stanowią hierarchię, gdzie bardziej złożone algebry opierają się na prostszych, co jest przedstawione w niniejszym artykule.

Metody definiowania liczb

Liczby mogą być definiowane na trzy sposoby:

Przez podanie aksjomatów, które określają właściwości, jakie muszą spełniać operacje w danym zbiorze (klasie), aby struktura z tego zbioru oraz operacji mogła być uznana za algebrę liczbową.
Przez stworzenie konstrukcji, czyli bezpośrednie utworzenie obiektów i nadanie im statusu liczb (jeśli dany typ liczb ma własną aksjomatykę, musi być modelem tej aksjomatyki, co oznacza, że wszystkie aksjomaty muszą być dla niej spełnione).
Przez wydzielenie podzbioru, który spełnia określony warunek z wcześniej zdefiniowanego szerszego zbioru liczb – jest to szczególny przypadek zarówno aksjomatyki, jak i konstrukcji.

Wśród licznych pojęć zawierających słowo „liczba” można wyróżnić:

Zbiory liczb tworzące nietrywialną algebrę – dodawanie i mnożenie dowolnych dwóch liczb w takim zbiorze są działaniami wewnętrznymi, co oznacza, że wyniki zawsze pozostają w tym zbiorze. Należą do tej grupy wszystkie rodzaje liczb, z wyjątkiem liczb przestępnych, przestępnych rzeczywistych i niewymiernych, ilustrowane na początku artykułu. Liczby te są definiowane za pomocą aksjomatów opisujących właściwości działań na nich lub za pomocą konstrukcji. Jeżeli jakieś zbiory liczbowe tworzą algebrę i zawierają podzbiór, który również tworzy algebrę, to działania na liczbach z tego podzbioru muszą dawać w obu algebrach identyczne wyniki. W ten sposób każda kolejna algebra liczbowa rozszerza poprzednią.
Podzbiory zbiorów liczbowych, które nie tworzą niezależnych algebr – zbiory liczb wyróżnione przez jakąś szczególną cechę, np. liczby pierwsze, które są liczbami naturalnymi dzielącymi się wyłącznie przez 1 oraz przez siebie. Są one definiowane przez określony warunek, który muszą spełniać liczby z danej algebry.
Liczby, które nie tworzą zbiorów, lecz klasy. Wśród nich znajdują się liczby kardynalne, liczby porządkowe oraz liczby nadrzeczywiste. Okazuje się, że próba stworzenia zbioru tych liczb prowadzi do sprzeczności; można je jedynie grupować w tzw. klasy. Można dla nich zdefiniować działania arytmetyczne, co sprawia, że również stanowią rozszerzenie algebry liczb naturalnych. Liczby kardynalne i porządkowe są definiowane wyłącznie przez konstrukcję.

Zbiory liczbowe, które tworzą algebrę, są zawsze definiowane wraz z podstawowymi działaniami na nich – dodawaniem i mnożeniem. Dopiero określenie zbioru wraz z działaniami, czyli tzw. struktury algebraicznej, stanowi wystarczającą definicję. Nie wystarczy skonstruowanie samego zbioru, ponieważ odpowiednie zdefiniowanie działań może sprawić, że np. zbiór liczb wymiernych stanie się nieodróżnialny (izomorficzny) od zbioru liczb naturalnych.

Izomorfizm konstrukcji

Dowolny zbiór, w którym zdefiniowane działania spełniają aksjomaty charakterystyczne dla danej algebry liczbowej, nazywamy zbiorem liczb. Posiada on bowiem wszystkie właściwości, które oczekujemy od danego zbioru liczbowego. Model aksjomatyki liczb określamy mianem konstrukcji liczb.

Warto zauważyć, że dany zbiór aksjomatów może mieć wiele różnych modeli, co sprawia, że liczby można skonstruować na wiele sposobów. Metody te są równoważne w tym sensie, że wszelkie twierdzenia udowodnione dla liczb skonstruowanych według jednej metody można bez zmian przenieść na inne konstrukcje (występuje tzw. izomorfizm). W praktyce, poza domeną teorii mnogości i logiki, nie ma potrzeby ich odróżniania.

W większości przypadków zaczyna się konstrukcję od liczb naturalnych, a następnie buduje się na ich podstawie liczby całkowite, które z kolei służą do tworzenia liczb wymiernych, rzeczywistych i zespolonych. W każdej z tych grup znajdują się podzbiory, które przy tej samej definicji działań spełniają aksjomaty wcześniej zdefiniowanych liczb.

Na przykład liczby wymierne mogą być skonstruowane jako zbiory par liczb całkowitych z odpowiednio zdefiniowanym dodawaniem i mnożeniem. Może się wydawać, że liczba całkowita nie może być zbiorem par liczb całkowitych, a zatem liczby całkowite nie są szczególnym przypadkiem liczb wymiernych. Jednak podzbiór liczb wymiernych odpowiadający ułamkom a/1, przy zwykłym dodawaniu i mnożeniu, również spełnia aksjomaty liczb całkowitych. Ostatecznie możemy zatem stwierdzić, że liczby całkowite są szczególnym przypadkiem liczb wymiernych, a ich zbiór jest zawarty w zbiorze liczb wymiernych. Podobnie postępuje się w przypadku konstruowania kolejnych zbiorów liczbowych.

Można również wykonać konstrukcję w odwrotnej kolejności, zaczynając od stworzenia wystarczająco szerokiej struktury, np. liczb zespolonych, a następnie definiując pozostałe zbiory jako ich podzbiory, zachowując te same operacje dodawania i mnożenia.

Liczby naturalne

Aksjomatyka Peana

Na początek zakładamy, że istnieje liczba 1 (cokolwiek mogłoby to oznaczać). Chcielibyśmy również dla każdej liczby a móc pokazać jej tzw. następnik (oznaczany jako S(a)). Musimy zatem zagwarantować istnienie następników liczby 1 (oznaczamy go 2), a także następników kolejnych następników. Następnik liczby 2 oznaczymy jako 3 itd. Jeśli dodatkowo założymy, że 1 nie jest następnikiem żadnej liczby, a odpowiednio zdefiniujemy dodawanie i mnożenie, to tak skonstruowany zbiór możemy nazwać zbiorem liczb naturalnych.

Proces konstrukcji kolejnych elementów zbioru wygląda następująco:

1 ↦ S(1) ↦ S(S(1)) ↦ S(S(S(1))) ↦ …

Ścisłej rzecz biorąc, zbiór liczb naturalnych jest definiowany przez aksjomaty Peana.

Niektórzy matematycy uznają zerową liczbę za liczbę naturalną, inni jej nie zaliczają. To jest jedynie kwestia nazewnictwa. Zarówno zbiór liczb naturalnych z zerem, jak i bez niego, ma powyższe własności. W pierwszym przypadku 0 oznacza J, w drugim 1.

Aby w pełni określić liczby naturalne, potrzebujemy również definicji działań i porządku. Definicje te zależą od tego, czy zaczynamy od zera, czy nie.

Dla liczb z zerem dodawanie, mnożenie i relację porządku wprowadzamy przez aksjomaty:

Podstawiając do równania 9 wartość: b = 0, uzyskujemy a ⋅ S(0) = a, skąd wynika, że S(0) jest elementem neutralnym mnożenia.

Zwykle zapisujemy tę liczbę jako 1, stąd można napisać: 1 = S(0).

Podstawiając do równania 7: b = 0, uzyskujemy: a + S(0) = S(a), czyli: a + 1 = S(a).

Odstępy pomiędzy każdą liczbą a jej następnikiem są identyczne i równe 1.

Stąd: 2 = S(1), 3 = S(2), …

Dla liczb naturalnych bez zera dodawanie, mnożenie i relację porządku wprowadzamy przez aksjomaty:

Inne aksjomatyki

Aksjomat indukcji jest najbardziej problematycznym z aksjomatów Peana. Sprawia on, że aksjomatyka liczb naturalnych nie jest wyrażona w języku pierwszego rzędu, ale (jak wykazał Richard Dedekind) jest kategoryczna, co oznacza, że każde dwa modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.

Ponieważ w logice głównym narzędziem są języki pierwszego rzędu, matematycy rozważają arytmetykę Peana (oznaczaną przez PA od angielskiego Peano arithmetic). Jest to teoria w języku pierwszego rzędu, która powstaje przez zastąpienie aksjomatu indukcji schematem (nieskończoną listą) aksjomatów pierwszego rzędu. Teoria PA jest znacznie słabsza niż aksjomatyzacja Peana, w szczególności nie jest kategoryczna i ma wiele nieizomorficznych modeli.

Z twierdzenia Gödla o niezupełności wynika, że dowolna „porządnie opisywalna” aksjomatyka liczb naturalnych w języku pierwszego rzędu jest niezupełna. Zatem dla każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które choć prawdziwe w obrębie danej konstrukcji, nie dają się wyprowadzić z aksjomatów. Arytmetyki Peana PA nie da się uzupełnić skończoną liczbą aksjomatów, tak aby prawdziwość każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy znają takie twierdzenia teorii liczb (np. twierdzenie Goodsteina), których nie można udowodnić ani obalić na gruncie PA (choć wynikają one z aksjomatów Peana).

Inną aksjomatyką jest podejście Kaye (1991). Kaye nie definiuje aksjomatu indukcji, uznając go za część metajęzyka. Kaye zakłada, że zero należy do liczb naturalnych i definiuje od razu dodawanie, mnożenie i relację porządku:

Istnieją też systemy aksjomatycznej teorii mnogości, które są równoważne arytmetyce Peana.

Konstrukcja Fregego i Russella

Pierwsza konstrukcja liczb naturalnych, autorstwa Gottloba Fregego oraz niezależnie Bertranda Russella, definiuje je po prostu jako liczności (ściślej: moce) zbiorów skończonych. Relacja „dwa zbiory są równoliczne” pozwala na uporządkowanie zbiorów skończonych w klasy zbiorów o tej samej liczności. Etykiety przypisane tym klasom nazywamy liczbami naturalnymi.

Konstrukcja von Neumanna

W teorii mnogości liczby naturalne konstruuje się w sposób zaproponowany przez Johna von Neumanna. W tym przypadku zbiór pusty utożsamiamy z zerem, następnik zera – liczbę jeden – utożsamiamy ze zbiorem złożonym z zera (zbioru pustego), a ogólniej następnik każdej liczby jest zbiorem, którego elementami są wszystkie poprzednie liczby.

0 = ∅, 1 = {0} = {∅}, 2 = {0, 1} = {∅, {∅}}, 3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, …

Jeśli oznaczymy zbiór liczb naturalnych jako ℕ, to:

ℕ = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, …} = {0, 1, 2, 3, …}.

W teorii mnogości zbiór liczb naturalnych oznacza się też przez ω (por. liczba porządkowa).

Niektóre podzbiory liczb naturalnych

Liczby pierwsze – liczby naturalne x większe od 1, których dzielnikami naturalnymi są tylko 1 oraz x.
Liczby Fermata – liczby naturalne postaci F_n = 2^2ⁿ + 1, gdzie n jest liczbą naturalną.
Liczby Mersenne’a – liczby określone wzorem 2^p – 1, gdzie p jest liczbą pierwszą.
Liczby półpierwsze – liczby posiadające dokładnie dwa dzielniki pierwsze.
Liczby Fibonacciego – wyrazy ciągu Fibonacciego.
Liczby doskonałe – liczby naturalne, które są sumą wszystkich swych dzielników właściwych.

Liczby całkowite

Aksjomatyka liczb całkowitych

Aksjomaty liczb całkowitych tworzy się, modyfikując aksjomatykę Peana przez wprowadzenie obok następników, także operacji poprzednika.

Istnieją inne aksjomatyki liczb całkowitych.

Konstrukcja Grassmana liczb całkowitych

Definicje działań:

gdzie [a, b] oznacza klasę abstrakcji odpowiadającą (a, b).

Podzbiór liczb całkowitych dodatnich (czyli takich, że w należących do nich parach (a, b), a > b lub ewentualnie nieujemnych (w analogiczny sposób a ≥ b) z tak samo zdefiniowanymi działaniami spełnia aksjomaty Peana, a zatem jest kolejną konstrukcją liczb naturalnych. Można więc uznać tak skonstruowane liczby naturalne za podzbiór liczb całkowitych.

Niektóre podzbiory liczb całkowitych

Liczby naturalne definiowane jako liczby całkowite dodatnie – liczby całkowite większe od zera.
Liczby całkowite nieujemne – liczby całkowite większe lub równe zeru.
Liczby całkowite ujemne – liczby całkowite mniejsze od zera.
Liczby całkowite niedodatnie – liczby całkowite mniejsze lub równe zeru.

Liczby wymierne

Aksjomatyka liczb wymiernych

Liczby wymierne, jako pierwszy z konstruowanych w tym artykule rodzajów liczb, pozwalają na wykonywanie bez przeszkód czterech podstawowych działań arytmetycznych: dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. W języku algebry mówimy, że liczby wymierne tworzą ciało.

Ciało liczb wymiernych jest tzw. ciałem prostym, co oznacza, że nie posiada podzbiorów będących ciałami (oprócz samego siebie). Istnieją inne ciała proste – ciała ℤ_p reszt z dzielenia przez liczby pierwsze p. Okazuje się jednak, że oprócz liczb wymiernych i ciał reszt innych ciał prostych nie ma.

Zostało to wykorzystane do zaksjomatyzowania zbioru liczb wymiernych ℚ:

(ℚ, +, ⋅, 0, 1) jest ciałem prostym.

Ciało liczb wymiernych nie jest izomorficzne (równoważne) z ciałem reszt ℤ_p dla żadnego p. Drugi warunek można równoważnie sformułować jako to, że ciało liczb wymiernych nie jest skończone.

Można udowodnić, że każdy zbiór, który spełnia te aksjomaty, zawiera:

podzbiór ℕ spełniający aksjomaty liczb naturalnych: najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór spełniający warunek 0 ∈ ℕ oraz (x ∈ ℕ ⇒ x + 1 ∈ ℕ).
podzbiór ℤ spełniający aksjomaty liczb całkowitych: najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór spełniający warunek 0 ∈ ℤ oraz (x ∈ ℤ ⇒ x – 1, x + 1 ∈ ℤ).

Oznacza to, że niezależnie od konstrukcji, liczby naturalne i liczby całkowite są szczególnymi przypadkami liczb wymiernych, a ich zbiory zawierają się w zbiorze liczb wymiernych.

Konstrukcja liczb wymiernych

Nieściśle mówiąc, liczby wymierne można skonstruować jako zbiór wszystkich par, gdzie pierwszy element pary jest liczbą całkowitą, a drugi niezerową liczbą całkowitą.

Ściśle: zbiór liczb wymiernych ℚ konstruujemy jako przestrzeń ilorazową relacji równoważności

∽⊂ (ℤ × (ℤ ∖ {0})) określonej warunkiem:

(p, r) ∽ (q, s) ⟺ p ⋅ s = r ⋅ q, gdzie p, q ∈ ℤ, r, s ∈ ℤ ∖ {0}.

Czyli ℚ = ℤ × (ℤ ∖ {0})/∽, gdzie [a, b] oznacza klasę abstrakcji zawierającą (a, b), a znak < oznacza relację porządku w zbiorze liczb całkowitych. Klasy [a, b] zapisujemy w postaci a/b i nazywamy często ilorazem liczb a i b. Gdy b = 1, piszemy po prostu a/1 = a.

Przykłady:

Liczba wymierna 1/2 to zbiór {…, (−1, −2), (1, 2), (2, 4), (3, 6), …} zawierający pary liczb całkowitych.
Liczba wymierna -3/1 lub krócej -3 to zbiór {…, (−6, 2), (−3, 1), (3, −1), (6, −2), …}.

Liczby rzeczywiste

Często powtarzana legenda głosi, że pierwszą odkrytą liczbą, która nie jest liczbą wymierną (nazywaną później niewymierną), była długość przekątnej kwadratu o boku jednostkowym. Liczbę tę, √2, możemy jedynie obustronnie przybliżać wyrazami pewnego ciągu liczb wymiernych, nie da się jednak przedstawić jej przy pomocy stosunku liczb całkowitych. Innymi przykładami liczb o takiej własności są stosunek długości obwodu okręgu do jego średnicy, π, oraz podstawa logarytmu naturalnego, e.

Klasycznie istnieją trzy podejścia do formalnej definicji zbioru liczb rzeczywistych: pierwszy z nich to definicja aksjomatyczna, drugi (metoda Dedekinda) – przy pomocy przekrojów Dedekinda, trzeci (metoda Cantora) – za pomocą ciągów Cauchy’ego liczb wymiernych.

Aksjomatyka liczb rzeczywistych

Formalnie liczby rzeczywiste można zdefiniować jako strukturę algebraiczną (ℝ, +, ⋅, 0, 1, ≤) spełniającą następujące aksjomaty:

(ℝ, +, ⋅, 0, 1, ≤) jest ciałem uporządkowanym.
Aksjomat ciągłości: każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór ℝ ma kres górny.

Równoważne sformułowanie aksjomatu ciągłości można otrzymać, używając przekrojów Dedekinda, podanych dalej.

Aksjomatyka Tarskiego

Alfred Tarski stworzył alternatywną, minimalistyczną aksjomatykę. Niech ℝ będzie zbiorem, < relacją w ℝ, + działaniem ℝ × ℝ → ℝ. Niech 1 będzie stałą.

Aksjomaty porządku:

„<” jest relacją asymetryczną.
x < z ⇒ ∨ y: x < y < z.
Jeśli X, Y ⊆ ℝ oraz dla każdego x ∈ X i dla każdego y ∈ Y zachodzi x < y, to istnieje taka liczba rzeczywista z, że dla każdego x ∈ X i y ∈ Y, jeśli z ≠ x i z ≠ y, to x < z < y.

Aksjomaty dodawania:

x + (y + z) = (x + z) + y.
Dla dowolnych x, y istnieje z, takie że x + z = y.
x + y < z + w ⇒ x < z ∨ y < w.

Aksjomaty jedności:

1 ∈ ℝ.
1 < 1 + 1.

W aksjomatach Tarskiego nie używa się mnożenia. Udowodnił on jednak, że z tych aksjomatów wynika istnienie działania mnożenia, które spełnia wraz z dodawaniem aksjomaty ciała.

Konstrukcja przy pomocy przekrojów Dedekinda

Niech X będzie niepustym zbiorem, w którym między jego elementami określona jest relacja silnego porządku liniowego ≺, którą będziemy nazywać relacją mniejszości.

Przekrojem Dedekinda zbioru X nazywamy parę zbiorów (A, B), taką że A, B ⊆ X oraz spełnione są następujące warunki:

A ≠ ∅, B ≠ ∅.
A ∪ B = X.
Jeżeli a ∈ A i b ∈ B, to a < b.
A ∩ B = ∅.

Zbiór A nazywamy klasą dolną, a zbiór B klasą górną przekroju. Przekrój wyznaczony parą zbiorów (A, B) oznaczamy jako [A, B].

Aksjomat ciągłości Dedekinda można sformułować w następujący sposób: jeżeli [A, B] jest przekrojem Dedekinda zbioru X, to albo klasa dolna A ma element największy, albo klasa górna B ma element najmniejszy.

Przyjmijmy X = ℚ. Każdy przekrój Dedekinda [A, B] tego zbioru można interpretować jako wzajemne położenie elementów pary, której pierwszy elementem są uzupełniające się półproste, a drugim zbiór ℚ.

W tym przypadku istnieją trzy możliwości:

Klasa A ma element największy, należący do ℚ, klasa B ma element najmniejszy, należący do ℚ.
Klasa A ma element największy, należący do ℚ, klasa B nie ma elementu najmniejszego.
Klasa A nie ma elementu największego, a klasa B nie ma elementu najmniejszego.

W przypadku 3. mówimy, że przekrój [A, B] wyznacza lukę – ponieważ równanie x² = 2 nie ma rozwiązania w ciele liczb wymiernych, tym samym zbiór liczb wymiernych nie spełnia aksjomatu ciągłości Dedekinda.

Liczby rzeczywiste można zdefiniować jako przekroje Dedekinda zbioru liczb wymiernych.

Przekroje typu 1 i 2 nazywamy liczbami rzeczywistymi wymiernymi. Dwa przekroje typu 1 i 2 wyznaczające tę samą liczbę rzeczywistą wymierną uważamy za równe:

[A, B] = [C, D] ⇔ A ∩ D = B ∩ C = ∅.

Natomiast jeśli przekrój [A, B] wyznacza lukę, to nazywamy go liczbą rzeczywistą niewymierną.

Określmy ℚ_– = {x ∈ ℚ : x ≤ 0} oraz ℚ₊ := ℚ ∖ ℚ_–.

Wykazuje się, że zbiór ℝ z działaniami i porządkiem określonym jak w tabeli spełnia aksjomaty ciała uporządkowanego oraz aksjomat ciągłości Dedekinda.

Działania w tym zbiorze oznaczamy tak samo jak działania w zbiorze liczb wymiernych.

Konstrukcja przy pomocy ciągów Cauchy’ego liczb wymiernych

Niech ℱ(ℕ, ℚ) będzie zbiorem wszystkich odwzorowań zbioru liczb naturalnych w zbiór liczb wymiernych.

Ciąg liczb wymiernych (a_n)_{n ∈ ℕ} nazywamy ciągiem Cauchy’ego, gdy

∀ℚ ∋ ε > 0 ⇒ ∃ n₀ ∈ ℕ : ∀ p, q > n₀ |a_p – a_q| < ε.

Zbiór wszystkich ciągów Cauchy’ego, należących do ℱ(ℕ, ℚ), oznaczmy jako C. W zbiorze tym wprowadzamy relację równoważności:

(a_n)_{n ∈ ℕ} ∼ (b_n)_{n ∈ ℕ} ⇔ ∀ℚ ∋ ε > 0 ⇒ ∃ n₀ ∈ ℕ : ∀ p, q > n₀ |a_p – b_q| < ε.

Łatwo sprawdzić, że jest ona zwrotna, symetryczna i przechodnia.

Zbiór ℝ jest przestrzenią ilorazową C/∼. Wówczas ℚ możemy identyfikować ze zbiorem klas ciągów stałych. Mówimy, że zanurzyliśmy ℚ w ℝ.

Działania w ℚ przenoszą się na działania w ℱ(ℕ, ℚ), a więc także na C. Dzięki temu możemy wprowadzić działania i porządek w ℝ = C/∼, ograniczając się do reprezentantów. Niech (a_n)_{n ∈ ℕ}, (b_n)_{n ∈ ℕ} ∈ C.

Wykazuje się, że definicja ta spełnia aksjomaty ciała uporządkowanego i nie zależy od wyboru reprezentantów.

Ciało liczb rzeczywistych zawiera podciało, spełniające aksjomaty liczb wymiernych. Można zatem powiedzieć, że liczby wymierne są podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych.

Patrząc z drugiej strony, zbiór liczb wymiernych został przy tej konstrukcji uzupełniony o pewne nowe elementy. Elementy te nazywamy liczbami niewymiernymi, a ich zbiór oznaczamy po prostu ℝ ∖ ℚ.

Rozszerzanie liczb wymiernych za pomocą ciągów Cauchy’ego przy zmienionej definicji |a| w relacji ∼ prowadzi do zupełnie innego rodzaju liczb. Zobacz sekcję o liczbach p-adycznych.

Niektóre podzbiory zbioru liczb rzeczywistych

Liczby dodatnie – większe od zera.

Liczby ujemne – mniejsze od zera.

Liczby nieujemne – większe lub równe zeru.

Liczby niedodatnie – mniejsze lub równe zeru.

Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste, które nie mogą być przedstawione jako iloraz dwóch liczb całkowitych.

Liczby zespolone

Aksjomatyka liczb zespolonych

Liczby zespolone są jedynym skończonym wymiarowym ciałem przemiennym, które obejmuje liczby rzeczywiste, różnym od ciała liczb rzeczywistych.

Konstrukcja Cayleya-Dicksona

Konstrukcja Cayleya-Dicksona jest metodą rozszerzania unormowanej przestrzeni liniowej przez tworzenie par jej elementów (a, b), a następnie definiowanie działań w następujący sposób:

a* oznacza liczbę sprzężoną do a, czyli taką, że a* a = |a|². Liczby zespolone można utworzyć za pomocą tej konstrukcji, zastosowanej do liczb rzeczywistych, pamiętając, że dla liczb rzeczywistych a* = a, a norma |a| jest wartością bezwzględną. Stosując tę samą konstrukcję do liczb zespolonych, dostajemy tzw. kwaterniony, następnie stosując ją do kwaternionów – oktoniony, a po zastosowaniu jej do oktonionów – sedeniony.

Tym samym każda liczba zespolona jest konstruowana jako para liczb rzeczywistych.

Działania arytmetyczne na poziomie rachunków na liczbach zespolonych są równoważne wprowadzeniu dodatkowej liczby i (tzw. jednostki urojonej), posiadającej właściwość i² = -1, oraz utożsamieniu pary (a, b) z sumą a + ib.

Liczbę a nazywa się częścią rzeczywistą liczby zespolonej i oznacza Re(z), a liczbę b częścią urojoną i oznacza Im(z).

Płaszczyzna zespolona

Liczby zespolone można interpretować jako punkty płaszczyzny z odpowiednio zdefiniowanym dodawaniem i mnożeniem. Jest to tzw. płaszczyzna zespolona, czasem zwana płaszczyzną Gaussa.

Dodawanie odpowiada wówczas przesunięciu o wektor (por. translacja), a mnożenie przez liczbę zespoloną o module równym 1 – obrotowi o pewien kąt wokół środka układu współrzędnych. Norma w tym przypadku to odległość euklidesowa od początku układu współrzędnych. Liczbę sprzężoną możemy interpretować jako odbicie lustrzane względem osi rzeczywistej (symetria osiowa względem prostej Im(z) = 0).

Płaszczyzna zespolona jest kolejną konstrukcją ciała liczb zespolonych.

Liczby algebraiczne

Oprócz wcześniej zdefiniowanych rodzajów liczb w ciele liczb zespolonych znajduje się ważne podciało: liczby algebraiczne. Są to liczby zespolone będące pierwiastkami pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych. Zbiór liczb algebraicznych A z dodawaniem i mnożeniem tworzy ciało. W przeciwieństwie do ℝ i ℂ jest jednak przeliczalny.

W języku algebry można powiedzieć, że liczby algebraiczne to elementy algebraiczne ciała liczb zespolonych ℂ nad ciałem liczb wymiernych ℚ.

Liczby zespolone, które nie są liczbami algebraicznymi, nazywamy liczbami przestępnymi. Należą do nich m.in. π oraz e.

Liczby algebraiczne są w ogólności zespolone, ale wśród nich istnieją także liczby rzeczywiste (wszystkie liczby wymierne są algebraiczne). Nazywamy je po prostu rzeczywistymi liczbami algebraicznymi. Istnieje również nieskończona liczba ciał węższych od rzeczywistych liczb algebraicznych, lecz szerszych od liczb wymiernych, np. ciało liczb postaci a + b√2, gdzie a, b ∈ ℚ.

Istnieją również całkowite liczby algebraiczne. Nie oznacza to jednak przecięcia zbiorów liczb algebraicznych i liczb całkowitych, lecz liczby zespolone będące pierwiastkami wielomianu o współczynnikach całkowitych i współczynniku przy największej potędze x równym 1. Liczby te tworzą pierścień, ponieważ suma, różnica i iloczyn dwóch całkowitych liczb algebraicznych również daje taką liczbę.

Kwaterniony

Aksjomatyka kwaternionów

Kwaterniony są jedynym skończonym wymiarowym pierścieniem z dzieleniem K, obejmującym ciało liczb zespolonych, w którym zachodzi aα = αa dla wszystkich a ∈ ℝ, α ∈ K.

Konstrukcja kwaternionów

Konstrukcja Cayleya-Dicksona może być zastosowana do liczb zespolonych. Wówczas każdą z nich można przedstawić w postaci h = a + bi + cj + dk, gdzie liczby 1, i, j, k mnożą się według poniższej tabeli:

Kwaterniony nie tworzą zwykłego ciała, ponieważ ich mnożenie nie jest przemienne. Posiadają jednak wszystkie inne właściwości wymagane od ciała, stąd czasem mówi się o ciele nieprzemiennym kwaternionów. Kwaterniony są jedynym możliwym rozszerzeniem ciała liczb zespolonych, zachowującym te właściwości.

Oktoniony (oktawy Cayleya)

Stosując ponownie konstrukcję Cayleya-Dicksona, tym razem do kw