Aksjomat zbioru pustego

Aksjomat zbioru pustego

Aksjomat zbioru pustego to jeden z fundamentalnych aksjomatów w teorii mnogości według Zermela-Fraenkla, który stwierdza, że istnieje zbiór pusty.

Oznacza to, że istnieje zbiór, do którego nie należy żaden element. Można to ująć w formie zdania logicznego:

∃X ∀y (y ∉ X).

{\displaystyle \exists X\;\forall y\;(y\notin X).}

Zgodnie z aksjomatem ekstensjonalności, istnieje tylko jeden zbiór, który ma tę właściwość – jest to zbiór pusty ∅.

{\displaystyle \varnothing .}

Wraz z aksjomatem nieskończoności, aksjomat zbioru pustego jest uznawany za absolutny pewnik istnienia, ponieważ postuluje istnienie pewnego obiektu matematycznego (w tym przypadku zbioru pustego) bez żadnych dodatkowych założeń. W przeciwieństwie do wielu innych aksjomatów Zermelo-Frenkla, które zależą od istnienia już istniejących obiektów.

Aksjomat zbioru pustego zazwyczaj wymienia się wśród aksjomatów Zermela-Fraenkla. Warto jednak zauważyć, że można go pominąć bez negatywnych skutków dla teorii, ponieważ wynika on z aksjomatu nieskończoności – ten ostatni gwarantuje istnienie zbioru, który zawiera jako element zbiór pusty.

Jeśli w języku teorii mnogości uwzględnimy symbol zbioru pustego ∅ jako zbiór a, zdefiniowany poprzez warunek:

∀b ¬(b ∈ a),

{\displaystyle \forall b\;\neg (b\in a),}

to aksjomat nieskończoności zapewnia istnienie zbioru X, który zawiera frazę:

∅ ∈ X,

{\displaystyle \varnothing \in X,}

W przeciwnym razie należy ją wymienić na:

∃a (a ∈ X ∧ ∀b ¬(b ∈ a)).

{\displaystyle \exists a\;{\big (}a\in X\land \forall b\;\neg (b\in a){\big )}.}

Przypisy

Bibliografia

Kazimierz K. Kuratowski, Andrzej A. Mostowski, Teoria Mnogości, „Monografie”, trzecie zmienione, 27, Monografie Matematyczne, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.

Literatura dodatkowa

Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7. Brak numerów stron w książce.