Aksjomat zbioru potęgowego

Aksjomat zbioru potęgowego, znany jako AxP, to jeden z aksjomatów teorii mnogości według podejścia Zermela-Fraenkla.

W formalnej postaci, aksjomat ten można zapisać w następujący sposób:

∀ u ∃ y ∀ x ( x ∈ y ⇔ ∀ z ( z ∈ x ⇒ z ∈ u ) ) .

Można go również sformalizować inaczej:

∀ u ∃ y ∀ x ( x ∈ y ⇔ x ⊆ u ) .

W tej wersji używany jest symbol ⊆, który oznacza relację inkluzji, czyli zawieranie się jednego zbioru w drugim (bycie podzbiorem). Symbol ten nie jest podstawowym pojęciem w teorii zbiorów według Zermela-Fraenkla, lecz 2-argumentowym predykatem, który wymaga osobnej definicji:

( x ⊆ y ⇔ ∀ z ( z ∈ x ⇒ z ∈ y ) ).

Aksjomat ten stwierdza, że dla każdego zbioru u istnieje zbiór y, którego elementami są dokładnie te, które są podzbiorami zbioru u. Aksjomat ekstensjonalności gwarantuje istnienie jednego takiego zbioru, który nazywany jest zbiorem potęgowym zbioru u. Obejmuje on wszystkie podzbiory zbioru u i oznaczany jest jako P(u).

Zbiór ten można formalnie opisać w następujący sposób:

∀ x ( x ∈ P(U) ⇔ x ⊆ U ).

Teoria mnogości bez aksjomatu zbioru potęgowego

W matematyce czasami rozważana jest teoria ZF− (lub ZFC−), czyli teoria mnogości, która zawiera wszystkie aksjomaty ZF (ZFC) poza aksjomatem zbioru potęgowego. Andrzej Zarach wykazał, zakładając niesprzeczność ZFC, że istnieją modele ZF−, w których suma przeliczalnie wielu zbiorów przeliczalnych może być nieprzeliczalna. W szczególności, są to modele, w których liczba ω₁ jest singularna, a także modele ZF−, w których każdy podzbiór prostej rzeczywistej jest przeliczalny, mimo że liczba ω₁ istnieje. V. Gitman, J.D. Hamkins oraz T.A. Johnstone udowodnili, że podobne sytuacje występują w teorii ZFC−.

Przypisy

Bibliografia

Marek Nowak: Dowodzenie w arytmetyce liczb naturalnych i teorii zbiorów. W: Andrzej Indrzejczak, Marek Nowak: Metody logiki. Dedukcja. Łódź: Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2016. ISBN 978-83-8088-359-8.