Aksjomat zastępowania
Aksjomat zastępowania to jeden z fundamentów teorii mnogości Zermela-Fraenkla. W rzeczywistości jest to schemat aksjomatów, ponieważ uwzględnia dowolny predykat P, który spełnia określone założenia.
Niech P(x,y) będzie dwuargumentowym predykatem, w którym nie ma obecnych zbiorów A ani B. Aksjomat zastępowania stwierdza, że:
(
∀
x
∃
!
y :
P
(
x
,
y
)
)
→
(
∀
A
∃
B
∀
y :
y
∈
B
⟺
∃
x :
x
∈
A
∧
P
(
x
,
y
)
)
Co oznacza, że jeśli P jest taki, że dla każdego zbioru x istnieje dokładnie jeden zbiór y, dla którego P(x, y) jest prawdziwe, to dla dowolnego zbioru A istnieje zbiór B, taki że y należy do B wtedy i tylko wtedy, gdy w A istnieje taki element x, że P(x, y).
Wymogiem powyższej implikacji jest, aby predykat P był predykatem funkcyjnym, co oznacza, że dla każdej wartości x, jako pierwszego argumentu, istnieje dokładnie jeden y, który w połączeniu z nim czyni wyrażenie P(x, y) prawdziwym. Można wtedy zdefiniować P jako funkcję F w następujący sposób:
∀
x
∀
y :
F
(
x
)
=
y
⟺
P
(
x
,
y
)
Oznacza to, że dla każdego x i y wartością F dla x jest y wtedy i tylko wtedy, gdy P(x, y) jest prawdziwe.
Aksjomat zastępowania może być zatem zapisany jako:
∀
A
∃
B
∀
y :
y
∈
B
⟺
∃
x :
x
∈
A
∧
y
=
F
(
x
)
Co oznacza, że dla każdego zbioru A istnieje taki zbiór B, że dla każdego y, y należy do B wtedy i tylko wtedy, gdy w A istnieje taki x, dla którego F przypisuje y.
Intuicyjnie, aksjomat ten mówi, że dla danego predykatu funkcyjnego F oraz zbioru A istnieje zbiór, który jest obrazem F na A (często nazywany F[A]).
Aksjomat zastępowania został dodany przez Fraenkla do pierwotnego zbioru aksjomatów stworzonych przez Zermela. Tak rozbudowany system określa się mianem teorii mnogości Zermela-Fraenkla.
Słabszą wersją aksjomatu zastępowania jest aksjomat wycinania.
Linki zewnętrzne
Eric W.E.W. Weisstein, Axiom of Replacement, MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07]
Loading ...