Aksjomat wyboru

Aksjomat wyboru, znany również jako pewnik wyboru czy AC (od ang. axiom of choice), to zasada w teorii mnogości, która zapewnia istnienie zbioru zawierającego dokładnie jeden element z każdego zbioru w danej rodzinie niepustych, rozłącznych zbiorów. Zbiór ten nazywany jest selektorem.

Aksjomat AC jest niezależny od powszechnie akceptowanych aksjomatów Zermela-Fraenkla (ZF). Teorie mnogości, które opierają się na aksjomatach ZF oraz aksjomacie AC, zazwyczaj oznaczane są skrótem ZFC. Istnieją również teorie, które są oparte na ZF, w których przyjęto negację AC.

Wielu matematyków akceptuje i stosuje AC, jednak w dowodach teoretycznych zazwyczaj wyraźnie zaznacza się, kiedy zakłada się AC. Dowody te określane są jako nieefektywne; przeważnie są także niekonstruktywne, ponieważ odnoszą się jedynie do istnienia pewnego obiektu, ale nie przedstawiają jego konstrukcji (zob. intuicjonizm).

Dla rodzin zbiorów skończonych aksjomat wyboru jest oczywisty, ponieważ wynika z innych aksjomatów. W przypadku rodzin zbiorów nieskończonych, aksjomat AC również wydaje się intuicyjny, jednak jego konsekwencje mogą być zaskakujące. Na przykład, Stefan Banach i Alfred Tarski udowodnili, korzystając z AC, twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli, które mówi, że kulę w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej można podzielić na sześć części, a następnie z tych części można złożyć dwie kule identyczne jak kula wyjściowa, używając jedynie obrotów i przesunięć.

Definicja formalna

Aksjomat wyboru jest zazwyczaj formułowany w następujący sposób:

Dla każdej rodziny niepustych zbiorów parami rozłącznych S istnieje zbiór V (zwany selektorem), do którego należy dokładnie jeden element z każdego zbioru w rodzinie S:

∀ S { [ ∀ X ∈ S X ≠ ∅ ] ∧ [ ∀ X, Y ∈ S (X ≠ Y ⇒ X ∩ Y = ∅) ] } ⇒ ∃ V ∀ X ∈ S ∃ x (X ∩ V = {x})

Alternatywnie, aksjomat wyboru można sformułować w inny sposób:

Dla każdej rodziny niepustych zbiorów S istnieje funkcja wyboru, to znaczy funkcja f:

f: S → ∪ S, która spełnia dla każdego A ∈ S warunek f(A) ∈ A.

Twierdzenia równoważne

Wśród kluczowych twierdzeń równoważnych aksjomatowi wyboru można wymienić:

Twierdzenie Tarskiego: Iloczyn kartezjański dowolnej rodziny niepustych zbiorów jest niepusty.
Twierdzenie Hessenberga: Każdy zbiór nieskończony jest równoliczny ze swoim kwadratem kartezjańskim.
Prawo trychotomii: Dla dowolnych zbiorów A i B zachodzi: |A| = |B| lub |A| > |B| albo |A| < |B|.
Twierdzenie Königa: Jeśli dla dowolnych liczb kardynalnych m i n zachodzi m < n, to ∑ m < ∏ n.
Lemat Teichmüllera-Tukeya: Każdy podzbiór mający daną własność jest zawarty w maksymalnym podzbiorze z tą własnością.
Twierdzenie Zermela: Każdy zbiór można dobrze uporządkować.
Lemat Kuratowskiego-Zorna: W każdym niepustym zbiorze częściowo uporządkowanym, w którym każdy podzbiór liniowo uporządkowany ma ograniczenie górne, istnieje przynajmniej jeden element maksymalny.
Twierdzenie Hausdorffa o łańcuchu maksymalnym: Każdy niepusty zbiór częściowo uporządkowany zawiera maksymalny podzbiór liniowo uporządkowany.

Twierdzenia słabsze

Czasem matematycy, aby uniknąć paradoksalnych skutków związanych z przyjmowaniem aksjomatu wyboru, ograniczają się do jego słabszych, nierównoważnych wersji. W wielu zastosowaniach są one wystarczające i często bardziej wygodne. Niektóre z nich ograniczają tylko rodziny niepustych zbiorów, na przykład do skończonych (ACF), inne zakładają, że funkcja wyboru wybiera podzbiór każdego danego niepustego zbioru zamiast elementu.

Zasada wyboru (SP): Dla każdego zbioru X istnieje funkcja przyporządkowująca każdemu, co najmniej dwuelementowemu podzbiorowi zbioru X pewien niepusty, właściwy podzbiór zbioru X.
Aksjomat wyboru dla zbiorów dających się dobrze uporządkować (ACWO): Dla każdego zbioru X istnieje funkcja przyporządkowująca dokładnie jeden element x ∈ X każdemu niepustemu podzbiorowi zbioru X dającemu się dobrze uporządkować.
Aksjomat wyboru dla zbiorów skończonych (ACF): Dla każdego zbioru X istnieje funkcja przyporządkowująca dokładnie jeden element x ∈ X każdemu niepustemu, skończonemu podzbiorowi zbioru X.
Aksjomat wyboru dla zbiorów n-elementowych (Cn): Dla każdego zbioru X istnieje funkcja wybierająca po jednym elemencie z każdego n-elementowego podzbioru zbioru X.
Przeliczalny aksjomat wyboru (CAC): Dla każdej przeliczalnej rodziny zbiorów istnieje funkcja wyboru.

Przykłady zastosowań aksjomatu

Aksjomat wyboru (często w formie lematu Kuratowskiego-Zorna) pojawia się w dowodach różnych wyników spoza teorii mnogości, choć często wystarczają jedynie jego słabsze wersje, na przykład:

Analiza matematyczna – związek definicji ciągłości funkcji według Cauchy’ego i Heinego.
Teoria pierścieni – twierdzenie Krulla: każdy pierścień z jedynką ma ideał maksymalny.
Algebra liniowa – twierdzenie Hamela: każda przestrzeń liniowa ma bazę.
Algebra uniwersalna – twierdzenie Steiniza: każde ciało ma domknięcie algebraiczne.
Analiza funkcjonalna – twierdzenie Hahna-Banacha oraz twierdzenie Krejna-Milmana.
Topologia – twierdzenie Tichonowa: produkt przestrzeni zwartych jest zwarty.

Zobacz też

aksjomat determinacji

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

Omar De La Cruz, Carlos Augusto Di Prisco: Weak Forms of the Axiom of Choice and Partitions of Infinite Sets. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1998. DOI: 10.1007/978-94-015-8988-8_4. Brak numerów stron w książce.

Thomas Jech: The Axiom of Choice. Amsterdam: North Holland, 1973. Brak numerów stron w książce.