Aksjomat sumy

Aksjomat sumy (Ax⋃) jest jednym z aksjomatów w teorii mnogości Zermela-Fraenkla. Można go sformułować w następujący sposób:

∀u ∃y ∀x (x ∈ y ⇔ ∃z (z ∈ u ∧ x ∈ z))

{\displaystyle \forall u\exists y\forall x(x\in y\Leftrightarrow \exists z(z\in u\wedge x\in z))}

Aksjomat ekstensjonalności zapewnia jednoznaczne określenie zbioru, który nazywamy sumą zbioru u, oznaczaną symbolicznie jako ⋃u { \displaystyle \bigcup {\mathcal {u}} }.

W matematyce często stosuje się notację zindeksowaną, na przykład:

⋃i=1ⁿ xi := ⋃{ xi }i=1ⁿ { \displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}x_{i}:=\bigcup \{x_{i}\}_{i=1}^{n}}

Szczególnym wnioskiem płynącym z tego aksjomatu jest istnienie sumy dwóch zbiorów. Dla dwóch zbiorów: a oraz b definiujemy:

a ∪ b := ⋃{a, b} { \displaystyle a\cup b:=\bigcup \{a,b\}}

Istnienie rodziny {a, b} zapewnia aksjomat pary.

Przypisy

Bibliografia

Marek Nowak: Dowodzenie w arytmetyce liczb naturalnych i teorii zbiorów. W: Andrzej Indrzejczak, Marek Nowak: Metody logiki. Dedukcja. Łódź: Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2016. ISBN 978-83-8088-359-8.