Aksjomat regularności

Aksjomat regularności, znany również jako aksjomat ufundowania, jest jednym z aksjomatów teorii mnogości w ramach aksjomatyki Zermela-Fraenkla. Jego głównym celem jest zapewnienie, że zbiory są tworzone zgodnie z intuicyjnym podejściem, co oznacza, że żaden zbiór nie może być swoim własnym elementem, zarówno bezpośrednio, jak i na żadnym poziomie zagnieżdżenia.

Aksjomat ten gwarantuje, że

niepusty zbiór ma element, który jest z nim rozłączny, co można wyrazić jako zdanie logiczne:

∀x (x ≠ ∅ ⇒ ∃y (y ∈ x ∧ y ∩ x = ∅))

W tym zapisie warunek y ∩ x = ∅ można zastąpić równoważnym zdaniem:

¬∃z (z ∈ x ∧ z ∈ y),

co prowadzi do równoważnego wyrażenia:

∀x (x ≠ ∅ ⇒ ∃y (y ∈ x ∧ ¬∃z (z ∈ x ∧ z ∈ y))).

Zbiory ufundowane

Aksjomatyka ZF przyjmuje istnienie jedynie takich zbiorów, które składają się z elementów podstawowych w stosunku do samego zbioru. Każdy taki zbiór musi być zbudowany w oparciu o elementy ostateczne, które nie zawierają w sobie innych elementów. W ZF rolę takiego elementu ostatecznego pełni zbiór pusty:

∅ = {}

i stanowi fundament, na którym konstruowane są inne zbiory. Zbiory, które mają ostateczne elementy, nazywamy zbiorami ufundowanymi.

Zbiory nieufundowane to te, w których nie zawsze można „zejść” do elementów podstawowych, na przykład:

zbiór, który zawiera sam siebie jako element, np.

X = {X},

gdzie zachodzi sytuacja:

… ∈ X ∈ X ∈ X ∈ …

Różne rodzaje rekurencyjnych „cykli” definicyjnych, jak:

X = {e, Y}, Y = {π, X},

gdzie mamy:

… ∈ Y ∈ X ∈ Y ∈ X ∈ …

Ogólnie rzecz biorąc, zbiór, w którym możemy nieskończoność schodzić do kolejnych elementów, tzn. w zbiorze:

X₀ istnieje pewien nieskończony łańcuch (malejący) zbiorów, gdzie:

Xᵢ+1 ∈ Xᵢ,

co można zapisać jako:

… ∈ X₂ ∈ X₁ ∈ X₀.

Łańcuchy malejące względem

∈

Przyjęcie aksjomatu regularności (wraz z innymi aksjomatami ZF) wymusza, że nie mogą istnieć zbiory tworzące nieskończony łańcuch względem relacji przynależności, w którym każdy zbiór jest elementem zbioru poprzedniego:

X₀ ∋ X₁ ∋ X₂ ∋ …

Aksjomat ten zapewnia, że nie istnieje zbiór, z którego moglibyśmy wybierać elementy w nieskończoność, co gwarantuje, że w pewnym momencie musimy zatrzymać się, trafiając na element, który nie zawiera w sobie żadnych dalszych elementów.

Cykle

Rozważając łańcuchy malejące, nie może zaistnieć sytuacja, w której zbiór zawiera bezpośrednio lub pośrednio sam siebie, tzn.

X₀ ∋ … ∋ Xᵢ ∋ Xᵢ+1 ∋ … ∋ Xⱼ ∋ Xᵢ ∋ …

Co oznacza, że jakiś zbiór xᵢ jest swoim własnym elementem, co prowadzi do sprzeczności z aksjomatem regularności (występowanie „cyklu” jest szczególnym przypadkiem łańcucha malejącego).

Nieskończone zagnieżdżenia

Aksjomat regularności nie zakazuje zatem posiadania przez zbiór nieskończonej liczby zagnieżdżeń. Dopuszczalne jest istnienie łańcuchów rosnących, tzn.

X₀ ∈ X₁ ∈ X₂ ∈ …

W tym przypadku każdy kolejny zbiór Xᵢ jest „większy” i zawiera poprzedni. Różnica w stosunku do łańcuchów malejących polega na tym, że zaczynamy od pewnego zbioru X₀ i budujemy kolejne „większe” zbiory w nieskończoność. W przypadku łańcuchów malejących początkowo wybieramy pewien zbiór X₀ i wyciągamy z niego mniejsze elementy, powtarzając to w nieskończoność.

Bibliografia

Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007. ISBN 978-83-01-15232-1. Brak numerów stron w książce.