Aksjomat podzbiorów

Aksjomat podzbiorów, znany również jako aksjomat wyróżniania czy aksjomat wycinania, stanowi jeden z elementów teorii mnogości w ramach ujęcia Zermela-Fraenkla. Został wprowadzony do pierwszej aksjomatyki tej teorii przez Zermela w 1908 roku. W pierwotnej wersji budził wiele kontrowersji, a jego współczesna forma pochodzi od Skolema.

Aksjomat ten głosi:

Dla danego predykatu P zawierającego jedną zmienną, który nie zawiera symbolu B:

∀

∃

∀

∈

⟺

∈

∧

(

)

{\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall z:z\in B\iff z\in A\land P(z).}

Oznacza to, że każde wskazanie elementów dowolnego zbioru A za pomocą formuły P tworzy pewien zbiór, który jest zawarty w A.

W rzeczywistości aksjomat ten nie jest pojedynczym aksjomatem, lecz schematem aksjomatów, co oznacza, że mamy do czynienia z nieskończonym zbiorem aksjomatów. Każdej formule przypisany jest odrębny aksjomat.

Zależność od pozostałych aksjomatów

Zdefiniujmy predykat funkcyjny

{\displaystyle F{:}}

(

)

{

}

gdy

(

)

∅

gdy

(

)

{\displaystyle F(x):={\begin{cases}\{x\},&{\mbox{gdy }}P(x),\\\varnothing ,&{\mbox{gdy }}\neg P(x).\end{cases}}}

Aksjomat pary potwierdza istnienie zbioru

{

}

{

}

{\displaystyle \{x,x\}=\{x\},}

natomiast zbiór

∅

{\displaystyle \varnothing }

wynika bezpośrednio z aksjomatu zbioru pustego, co potwierdza poprawność definicji predykatu. Zgodnie z aksjomatem zastępowania każdy predykat funkcyjny ma swój obraz, co dowodzi istnienia rodziny zbiorów

[

]

{\displaystyle F[A],}

z czego mocą aksjomatu sumy wynika istnienie zbioru

{\displaystyle B.}