Aksjomat Pascha

Aksjomat Pascha

Aksjomat Pascha to zasada dotycząca płaszczyzny euklidesowej, której nie można wyprowadzić z pięciu aksjomatów Euklidesa.

Rozważmy na płaszczyźnie prostą

l

{\displaystyle l}

oraz punkty

P

{\displaystyle P}

i

Q

{\displaystyle Q}

znajdujące się poza prostą

l

{\displaystyle l}

w taki sposób, że odcinek

P

Q

{\displaystyle PQ}

przecina prostą

l

.

{\displaystyle l.}

Jeżeli

R

{\displaystyle R}

jest kolejnym punktem, który leży poza prostą

l

,

{\displaystyle l,}

to tylko jeden z odcinków

R

P

{\displaystyle RP}

lub

R

Q

{\displaystyle RQ}

przecina prostą

l

{\displaystyle l\,{}}

.

Alternatywna wersja aksjomatu brzmi:

Jeśli prosta na płaszczyźnie nie przechodzi przez żaden z wierzchołków trójkąta i przecina jeden z jego boków, to przecina również drugi bok.

Aksjomat Pascha umożliwia wprowadzenie pojęcia półpłaszczyzny. W tym celu definiuje się, że dwa punkty leżą po jednej stronie prostej:

Punkty

P

,

Q

{\displaystyle P,Q}

leżą po tej samej stronie prostej

l

,

{\displaystyle l,}

jeśli odcinek

P

Q

{\displaystyle PQ}

jest rozłączny z prostą

l

{\displaystyle l}

.

Tak zdefiniowana relacja jest relacją równoważności, której zwrotność i symetria są oczywiste, a przechodniość tej relacji jest kontrapozycją aksjomatu Pascha.

Udowodniono, że dla relacji leżenia po jednej stronie prostej istnieją dokładnie dwie klasy abstrakcji. Każda z nich nazywana jest półpłaszczyzną wyznaczoną przez daną prostą. Z definicji wynika, że każda z tych półpłaszczyzn jest zbiorem wypukłym.

Aksjomat Pascha został sformułowany przez XIX-wiecznego matematyka Moritza Pascha w dziele Vorlesungen über neuere Geometrie, Leipzig 1882. David Hilbert w swojej aksjomatyce zalicza go do tzw. aksjomatów porządku.

== Uwagi ==

== Przypisy ==

== Bibliografia ==

Jerzy Mioduszewski. Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych. „Skrypty Uniwersytetu Śląskiego”. 501, 1994. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego. ISSN 0239-6432. brak numeru strony