Aksjomat nieskończoności

Aksjomat nieskończoności jest jednym z fundamentalnych aksjomatów w teorii mnogości. Sformułowanie tego aksjomatu stwierdza, że istnieje zbiór X, który spełnia dwa poniższe warunki:

∅ należy do X,
dla każdego y należącego do X, jego następnik S(y) także należy do X.

Formalnie zapisujemy to jako:

∅ ∈ X,
∀y ∈ X (S(y) ∈ X),

gdzie S(y) oznacza następnik zbioru y, definiowany jako:

S(y) = y ∪ {y}.

To oznacza, że zbiór X zawiera:

∅, nazwany A₀,
{∅}, nazwany A₁,
{∅, {∅}}, nazwany A₂,

i tak dalej. Tego rodzaju zbiór jest uznawany za zbiór nieskończony, co jest źródłem nazwy aksjomatu. Zbiór składający się z elementów A₀, A₁, A₂, … (i tylko z nich) można utożsamić ze zbiorem liczb naturalnych, podczas gdy zbiory A₀, A₁, A₂, … odpowiadają liczbom 0, 1, 2, ….

Zbiór, który spełnia wymogi aksjomatu, określamy jako zbiór induktywny.