Aksjomat Nicoda-Łukasiewicza

Aksjomat Nicoda-Łukasiewicza to zasada w zakresie rachunku zdań, opracowana przez Jeana Nicoda i uproszczona przez Jana Łukasiewicza. Ten aksjomat pozwala na stworzenie jednoaksjomatowego systemu rachunku zdań, który opiera się wyłącznie na dysjunkcji Sheffera, określanego jako dysjunkcyjny system logiki zdań.

Aksjomat Nicoda

Jean Nicod opracował dysjunkcyjny system rachunku zdań w swojej pracy A Reduction in the number of the Primitive Propositions of Logic, opublikowanej w 1917 roku w 19 tomie „Proceedings of the Cambridge Philosophical Society”. Ciekawym aspektem aksjomatu jest to, że umożliwia on budowę jednoaksjomatowego systemu rachunku zdań przy użyciu jednego terminu pierwotnego, którym jest znak dysjunkcji. Wykorzystując regułę odrywania dla dysjunkcji oraz regułę podstawiania dla dysjunkcji, można z aksjomatu Nicoda (jak i jego uproszczonej wersji Łukasiewicza) wyprowadzić każdą tezę dysjunkcyjnego rachunku zdań. Dzięki zastosowaniu wyłącznie dysjunkcji istnieje także możliwość zdefiniowania pozostałych spójników rachunku zdań.

Aksjomat Nicoda w nowoczesnym zapisie przyjmuje następującą formę:

{\displaystyle {\Bigg (}p{\bigg /}{\bigg (}q{\Big /}r{\bigg )}{\Bigg )}{\bigg /}{\Bigg (}{\bigg (}t{\Big /}{\Big (}t{\big /}t{\Big )}{\bigg )}{\bigg /}{\bigg (}{\Big (}s{\big /}q{\Big )}{\Big /}{\Big (}(p/s){\big /}(p/s){\Big )}{\bigg )}{\Bigg )}}

Aksjomat Nicoda-Łukasiewicza

W 1925 roku Jan Łukasiewicz uprościł aksjomat Nicoda, a efekty swoich badań przedstawił w 1933 roku w pracy Uwagi o aksjomacie Nicoda i o „definicji uogólniającej”. Wzmianka o aksjomacie Łukasiewicza pojawiła się wcześniej w pracy Stanisława Leśniewskiego Grundzüge eines neuen Systems der Grundlagen der Mathematik.

Wprowadzona przez Łukasiewicza modyfikacja polegała na zmniejszeniu liczby zmiennych w jego wersji aksjomatu z pięciu do czterech, co uczyniło go jeszcze bardziej przystępnym. Łukasiewicz odkrył również błąd w dowodzie Nicoda dotyczący tezy t/(t/t), który wcześniej nie był zauważony.

W wersji Łukasiewicza aksjomat przyjmuje następującą formę:

{\displaystyle {\Bigg (}p{\bigg /}{\bigg (}q{\Big /}r{\bigg )}{\Bigg )}{\bigg /}{\Bigg (}{\bigg (}s{\Big /}{\Big (}s{\big /}s{\Big )}{\bigg )}{\bigg /}{\bigg (}{\Big (}s{\big /}q{\Big )}{\Big /}{\Big (}(p/s){\big /}(p/s){\Big )}{\bigg )}{\Bigg )}}

W notacji Łukasiewicza forma aksjomatu wygląda następująco: DDpDqrDDsDssDDsqDDpsDps

Przypisy

Bibliografia

Kazimierz Czarnota, Aksjomat Nicoda-Łukasiewicza, hasło w: Mała encyklopedia logiki, Ossolineum, Wrocław 1970.
Jan Łukasiewicz, Uwagi o aksjomacie Nicoda i o „definicji uogólniającej”, w: idem, Z zagadnień logiki i filozofii. Pisma wybrane, PWN, Warszawa 1961.