Aksjomat Martina

Aksjomat Martina to stwierdzenie, które odnosi się do pewnych cech zbiorów uporządkowanych.

Jest on wykorzystywany w teorii mnogości oraz w pokrewnych dziedzinach matematyki. Aksjomat ten jest niezależny od standardowych aksjomatów ZFC, co oznacza, że nie można go ani udowodnić, ani obalić przy użyciu tych aksjomatów. Z uwagi na liczne interesujące konsekwencje, wielu matematyków traktuje go jako dodatkowy aksjomat, który można przyjąć w przypadku potrzeby w dowodach. W tym sensie aksjomat Martina można porównać z hipotezą continuum (CH).

Historia i znaczenie

W około 1965 roku amerykańscy matematycy Robert M. Solovay oraz Stanley Tennenbaum opracowali metodę forsingu, wprowadzając forsowanie iterowane, aby udowodnić niezależność hipotezy Suslina. W trakcie analizowania ich wyników, Donald A. Martin, również amerykański matematyk, zaproponował aksjomat, który w dużym stopniu odzwierciedlał podstawy modelu teorii mnogości stworzonego przez Solovaya i Tennenbauma. Aksjomat zaproponowany przez Martina oraz niektóre jego zastosowania zostały przedstawione w 1970 roku, a dowód niesprzeczności tego aksjomatu oraz sama metoda forsowania iterowanego opublikowane zostały w 1971 roku.

Aksjomat Martina ogólnia hipotezę continuum i w wielu przypadkach umożliwia powtórzenie argumentów stosowanych w kontekście CH. Najważniejsze zastosowania aksjomatu Martina są związane z jednoczesnym odrzuceniem hipotezy continuum (tzn. założeniem

¬CH

) i wówczas jego znaczenie polega na stwierdzeniu, że mimo iż

2^{\aleph_{0}} > \aleph_{1}

, to uniwersum teorii mnogości funkcjonuje w sposób przypominający, jakby CH była prawdziwa – to znaczy, nieskończone zbiory o mocy mniejszej niż continuum zachowują się analogicznie do zbiorów przeliczalnych.

Warto zaznaczyć, że głównym źródłem popularności aksjomatu Martina jest możliwość uproszczenia skomplikowanych dowodów niesprzeczności pewnych twierdzeń przy użyciu forsingu. Ma on więc zarówno znaczenie dydaktyczne jako wprowadzenie do metody forsingu, jak i praktyczne jako narzędzie dla matematyków, którzy nie są zaznajomieni z tą metodą.

Definicje

Przed sformułowaniem aksjomatu warto przypomnieć poniższe definicje.

Niech (P, ≤) będzie porządkiem częściowym.

Zbiór A ⊆ P jest antyłańcuchem w P, jeżeli każde dwa różne elementy p, q ∈ A są sprzeczne, tzn.:

∀ p, q ∈ A (p ≠ q ⇒ ¬(∃ r ∈ P)(r ≤ p ∧ r ≤ q)).

Porządek częściowy P spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów, znany jako ccc, jeśli każdy antyłańcuch w P jest przeliczalny.

Zbiór D ⊆ P jest gęsty w P, jeżeli dla każdego p ∈ P istnieje q ∈ D, taki że q ≤ p.

Niepusty zbiór G ⊆ P jest filtrem w P, jeśli

(i) jeśli p, q ∈ P, q ≤ p oraz q ∈ G, to również p ∈ G,
(ii) jeśli p, q ∈ G, to istnieje r ∈ G, taki że r ≤ p oraz r ≤ q.

Aksjomat

Aksjomat Martina brzmi następująco:

jeśli P jest porządkiem częściowym spełniającym warunek przeliczalnych antyłańcuchów (ccc) oraz I jest rodziną gęstych podzbiorów P, a także |I| < 2^{\aleph_{0}} (gdzie |I| oznacza moc zbioru I), to istnieje filtr G ⊆ P, który ma niepusty przekrój z każdym zbiorem z I (tzn. ∀ D ∈ I (D ∩ G ≠ ∅)).

Aksjomat Martina jest tradycyjnie oznaczany jako MA. Należy zauważyć, że CH implikuje MA w powyższej formie i wtedy nie ma większego sensu przyjmowanie tego aksjomatu. Dlatego matematycy często, mówiąc o aksjomacie Martina, mają na myśli MA + ¬CH.

Konsekwencje

Zakładając MA oraz ¬CH, następujące stwierdzenia są prawdziwe:

Wszystkie współczynniki kardynalne w diagramie Cichonia są równe 2^{\aleph_{0}}.
W szczególności suma mniej niż continuum wielu podzbiorów prostej, które są miary zero, jest zbiorem miary zero oraz suma mniej niż continuum wielu podzbiorów prostej, które są pierwszej kategorii, jest pierwszej kategorii.

Lemat Bootha: Jeśli A jest rodziną nieskończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych N z własnością skończonych przekrojów, to rodzina A ma nieskończony pseudo-przekrój, tzn. istnieje nieskończony zbiór B ⊆ N taki, że dla każdego zbioru A ∈ A różnica B \ A jest zbiorem skończonym.

Jeśli p ∈ βN \ N, to każda baza otoczeń punktu p w βN ma moc continuum. (Przypomnijmy, że βN jest uzwarceniem Čecha-Stone’a przestrzeni N.)

Dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej κ < 2^{\aleph_{0}}, 2^{κ} = 2^{\aleph_{0}}. Stąd można wywnioskować, że 2^{\aleph_{0}} jest regularną liczbą kardynalną.

Każdy porządek częściowy spełniający ccc ma własność Knastera, a każda przestrzeń topologiczna, która jest ccc, spełnia warunek Knastera.

Przypomnijmy, że przestrzeń topologiczna X jest ccc, jeśli każda rodzina rozłącznych niepustych otwartych podzbiorów X jest przeliczalna.

Produkt dowolnej rodziny przestrzeni topologicznych spełniających ccc również spełnia ccc.

Jeśli (X, τ) jest zwartą ccc przestrzenią T2 oraz U ⊆ τ jest rodziną jej otwartych gęstych podzbiorów, to część wspólna ⋂ U tej rodziny jest niepusta.

Istnieją grupy Whiteheada mocy ℵ_{1}, które nie są wolne.

Porównanie: MA a CH

Hipoteza continuum jest równoważna ze zdaniem:

CH: Jedyną nieskończoną liczbą kardynalną mniejszą niż continuum jest liczba ℵ_{0}.

Aksjomat Martina jest słabszą wersją tego zdania; konsekwencje aksjomatu Martina pokazują, że MA ma formę:

MA: Każda nieskończona liczba kardynalna mniejsza niż continuum jest podobna (w pewnym sensie) do liczby ℵ_{0}.

Ogólny schemat aksjomatów forsingowych

Aksjomat Martina był pierwszym aksjomatem forsingowym sformułowanym w teorii mnogości. Gdy jego popularność poza teorią mnogości (np. w topologii czy teorii miary) stała się oczywista, specjaliści w teorii forsingu starali się zaproponować społeczności matematycznej szerszą rodzinę aksjomatów opartych na schemacie przedstawionym poniżej.

Dla porządku częściowego P i liczby kardynalnej κ, niech MA_κ(P) oznacza następujące zdanie:

jeśli I jest rodziną gęstych podzbiorów P oraz |I| ≤ κ, to istnieje filtr G ⊆ P, który ma niepusty przekrój z każdym zbiorem z I.

Dla klasy porządków częściowych ℘ i liczby kardynalnej κ, MA_κ(℘) jest zdaniem:

∀ P ∈ ℘ (MA_κ(P)).

Należy zauważyć, że na mocy klasycznego lematu polskich matematyków Heleny Rasiowej i Romana Sikorskiego, MA_{ℵ_{0}}(P) jest prawdziwe (w ZFC). Można również wykazać, że jeśli P jest porządkiem bezatomowym i separatywnym, to MA_{2^{|P|}}(P) jest zdaniem fałszywym (w ZFC).

Jeśli CCC oznacza klasę wszystkich porządków częściowych spełniających ccc, to wprowadzony wcześniej aksjomat Martina oznacza ∀ κ < 2^{\aleph_{0}} (MA_κ(CCC)).

Aksjomat MA_{ℵ_{1}}(CCC) został uogólniony przez Saharona Szelacha do PFA, aksjomatu, który także jest niezależny od aksjomatów ZFC. Wśród aksjomatów forsingowych, PFA zajmuje drugie miejsce pod względem popularności w matematyce, zaraz po MA.

W literaturze matematycznej istnieją pewne różnice w terminologii związanej z aksjomatami forsingowymi. Niektórzy autorzy rezerwują nazwę aksjomat Martina i symbol MA_κ dla MA_κ(CCC), a dla pozostałych przypadków używają oznaczenia FA_κ.

Istnieją także pewne niekonsekwencje w definiowaniu roli liczby κ. Czasami MA_κ jest rozumiane jako MA_{<κ}, co oznacza postulat istnienia filtru przecinającego zadane <κ zbiorów gęstych.