Aksjomat ekstensjonalności

Aksjomat ekstensjonalności, aksjomat jednoznaczności oraz aksjomat równości to jeden z kluczowych aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla, który został wprowadzony przez Ernsta Zermela w 1908 roku. Postuluje on, że dwa zbiory, które zawierają te same elementy, muszą być sobie równe.

Formalnie, aksjomat ten można zapisać w języku pierwszego rzędu jako:

{\displaystyle {\mathcal {L}}(\{\in \})}

(gdzie symbol ∈ oznacza relację przynależności):

{\displaystyle {\Big (}\forall x{\Big )}{\Big (}\forall y{\Big )}{\Big (}(\forall z)(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow (x=y){\Big )}.}

Interpretacja

Aksjomat ekstensjonalności stwierdza, że dwa zbiory są równe, jeśli mają identyczne elementy. Można to ująć w prostszy sposób: dwa zbiory są równe, gdy i tylko gdy ich elementy są tożsame. Oznacza to, że każdy zbiór jest jednoznacznie określony przez swoje elementy. W szczególności, jeśli φ(x) jest formułą w języku teorii mnogości {∈} i wiemy, że istnieje zbiór zawierający wszystkie obiekty a, dla których φ(a) jest prawdziwe, to ten zbiór jest jednoznacznie wyznaczony. Używając notacji {x: φ(x)}, odwołujemy się do aksjomatu ekstensjonalności.

Czasami aksjomat ekstensjonalności jest przedstawiany jako stwierdzenie, że relacja przynależności jest ekstensjonalna. Przypomnijmy, że relacja dwuczłonowa R na zbiorze X jest ekstensjonalna, jeśli spełniony jest poniższy warunek:

dla wszystkich x, y ∈ X, jeśli (∀ z ∈ X)(z R x ⇔ z R y), to x = y.

(Warto zauważyć, że twierdzenie Mostowskiego o kolapsie mówi, że każda relacja dobrze ufundowana i ekstensjonalna jest izomorficzna do relacji przynależności ograniczonej do pewnego zbioru przechodniego.)

Inne sformułowania aksjomatu

Logikę pierwszego rzędu można rozwijać bez użycia symbolu równości jako jednego z symboli logicznych. W takim przypadku nie możemy użyć zapisu x = y, a aksjomat ekstensjonalności formułuje się w bardziej złożony sposób:

{\displaystyle {\Big (}\forall x{\Big )}{\Big (}\forall y{\Big )}{\Big (}(\forall z)(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow (\forall w)(x\in w\Leftrightarrow y\in w){\Big )}.}

W teorii mnogości z urelementami aksjomat ekstensjonalności odnosi się jedynie do zbiorów.

W teorii klas (zarówno Kelleya-Morse’a, jak i NBG) również formułowany jest odpowiedni aksjomat ekstensjonalności. John L. Kelley wskazuje ten aksjomat jako pierwszy na swojej liście. Może on być wyrażony tą samą formułą co wcześniej, ale teraz oznacza, że klasy o tych samych elementach są równe. W systemie von Neumanna-Bernaysa-Gödla formułuje się dwa postulaty: ekstensjonalność dla klas oraz ekstensjonalność dla zbiorów.