Aksjomat determinacji

Aksjomat determinacji, w skrócie AD (z ang. axiom of determinacy) – to aksjomat w teorii mnogości, który zakłada, że pewne gry nieskończone są zdeterminowane. Oznacza to, że aksjomat wyboru jest nieprawdziwy, co z kolei eliminuje paradoksy związane z tym aksjomatem. Niesprzeczność AD jest równoważna z niesprzecznością istnienia niektórych dużych liczb kardynalnych.

W literaturze matematycznej istnieje szeroka gama aksjomatów determinacji, jednak najczęściej wspominanym jest AD, które jest niezależne od aksjomatów Zermela-Fraenkla.

W dalszej części tego artykułu będą stosowane oznaczenia oraz definicje wprowadzone w artykule na temat gier nieskończonych.

Rys historyczny

Pierwsza gra nieskończona została opisana w 1930 roku przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w problemie 43 w Księdze Szkockiej. Obecnie gra ta znana jest jako gra Banacha-Mazura.

W 1962 roku polscy matematycy Jan Mycielski oraz Hugo Steinhaus podjęli badania nad aksjomatami determinacji. Aksjomaty te były przedmiotem intensywnych badań na początku lat 60. XX wieku przez Jana Mycielskiego oraz Stanisława Świerczkowskiego.

W 1969 roku Donald A. Martin udowodnił, że jeżeli istnieje liczba mierzalna oraz zbiór

A ⊆ ωω, to gra ⅁ω(A) jest zdeterminowana.

W 1975 roku Martin również wykazał, że jeśli A ⊆ ωω jest zbiorem borelowskim, to gra ⅁ω(A) jest również zdeterminowana.

Na koniec lat 80. XX wieku Hugh Woodin, Donald Martin i John Steel udowodnili, że przy założeniu istnienia znacznie większych dużych liczb kardynalnych, wszystkie gry na zbiorach z wyższych klas rzutowych również są zdeterminowane. Dodatkowo, udowodnili, że jeżeli istnieją odpowiednio duże liczby kardynalne, to ZF+AD jest niesprzeczne.

W latach 90. XX wieku Woodin rozwijał teorię wokół pojęcia forsingu Pmax, które stało się kluczowym elementem badań nad strukturą H(ω2), ∈, INS przy założeniu AD w L(R), gdzie INS oznacza ideal niestacjonarnych podzbiorów ω1, a H(ω2) jest rodziną zbiorów dziedzicznie mocy < ω2.

Aksjomat i jego wersje

Definicje wstępne

Przypomnijmy następujące definicje:

Niech X będzie zbiorem składającym się z co najmniej dwóch elementów oraz niech A ⊆ Xω. Gra ⅁X(A) pomiędzy graczami I i II jest definiowana jako proces, w którym gracze konstruują nieskończony ciąg η = ⟨η(n) : n ∈ ω⟩ ∈ Xω z elementami w zbiorze X w taki sposób, że po wyborze η ↾ n = ⟨η(k) : k < n⟩, jeżeli n jest parzyste, gracz I wybiera η(n), a jeśli n jest nieparzyste, gracz II wybiera η(n).

Po wykonaniu wszystkich ω kroków, kiedy gracze stworzą ciąg η = ⟨η(n) : n ∈ ω⟩ ∈ Xω, mówimy, że gracz I wygrał partię η, jeśli η ∈ A.

Strategia dla gracza I to funkcja σ : ⋃_k∈ωX^2k → X. Powiemy, że ciąg η ∈ Xω jest zgodny ze strategią σ, jeśli dla każdego k ∈ ω zachodzi η(2k) = σ(η ↾ 2k). Strategia σ dla gracza I jest strategią zwycięską w ⅁X(A), jeśli każdy ciąg η zgodny ze strategią σ należy do zbioru A.

Strategia dla gracza II to funkcja τ : ⋃_k∈ωX^2k+1 → X. Powiemy, że ciąg η ∈ Xω jest zgodny ze strategią τ, jeśli dla każdego k ∈ ω zachodzi η(2k+1) = τ(η ↾ (2k+1)). Strategia τ dla gracza II jest strategią zwycięską w ⅁X(A), jeżeli żaden ciąg η zgodny ze strategią τ nie należy do zbioru A.

Gra ⅁X(A) jest zdeterminowana, jeśli jeden z graczy ma strategię zwycięską.

Aksjomaty determinacji

Aksjomat determinacji AD to stwierdzenie, że dla każdego zbioru A ⊆ ωω, gra ⅁ω(A) jest zdeterminowana.

Aksjomat determinacji rzeczywistej AD_R to stwierdzenie, że dla każdego zbioru A ⊆ Rω, gra ⅁R(A) jest zdeterminowana (gdzie R oznacza zbiór liczb rzeczywistych).

Aksjomat determinacji rzutowej PD to stwierdzenie, że dla każdego zbioru rzutowego A ⊆ ωω, gra ⅁ω(A) jest zdeterminowana.

Konsekwencje

AD_R implikuje AD.

Do konsekwencji AD należą:

Każdy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire’a.
Każdy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue’a.
Każdy nieprzeliczalny podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały.
Dla każdego x ⊆ ω, ℵ₁ jest liczbą nieosiągalną w L[x].
ℵ₁ jest liczbą mierzalną (a nawet filtr generowany przez cluby jest ultrafiltrem).
ℵ₂ jest liczbą mierzalną.

Do konsekwencji PD należą:

Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire’a.
Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue’a.
Każdy nieprzeliczalny rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały.
Jeżeli istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina z liczbą mierzalną powyżej ich, to L(R) ⊨ AD.

PD jest prawdziwe.

Teoria „ZF+AD” jest niesprzeczna wtedy i tylko wtedy, gdy niesprzeczna jest teoria „ZFC+ istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina”.