Aksjomat ciągłości
Aksjomat ciągłości, znany również jako pewnik Dedekinda, został sformułowany przez Richarda Dedekinda w 1872 roku. Postuluje on, że każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ma swoje kres górny.
Inaczej mówiąc, każdy niepusty i ograniczony z dołu podzbiór zbioru liczb rzeczywistych dysponuje kresą dolną.
Aksjomat ten odpowiada naszej intuicji, że oś liczbowa jest ciągła, co oznacza, że nie ma luk między kolejnymi liczbami – każdemu punktowi na osi przypisana jest konkretna liczba rzeczywista.
Następujące twierdzenie jest równoważne aksjomatowi ciągłości i mogłoby być uznane za aksjomat: każdy rosnący i ograniczony z góry ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny.
W przypadku zbioru liczb wymiernych sytuacja ta nie jest spełniona. Na przykład zbiór liczb wymiernych, których kwadraty są mniejsze od 2, jest niepusty (w jego skład wchodzi np. 1), ograniczony z góry (wszystkie liczby tego zbioru są mniejsze od 2), jednak nie ma dla niego kresu górnego – nie istnieje liczba wymierna, która byłaby najmniejszym ograniczeniem górnym tego zbioru.
Aksjomat ciągłości zapewnia, że w zbiorze liczb rzeczywistych taka sytuacja nie ma miejsca, co oznacza, że zawsze istnieje liczba rzeczywista, która jest najmniejszym ograniczeniem górnym.
Inne sformułowanie aksjomatu ciągłości odnosi się do pojęcia przekroju Dedekinda zbioru liczb rzeczywistych: jeśli zbiory A i B tworzą przekrój Dedekinda, to albo w zbiorze A znajduje się liczba największa, albo w zbiorze B – najmniejsza.
Zobacz też
- Aksjomaty i konstrukcje liczb rzeczywistych
- Porządek ciągły
Loading ...