Aksjomat Archimedesa

Aksjomat Archimedesa to fundamentalna zasada w geometrii, która stwierdza, że każdy odcinek jest krótszy od pewnej wielokrotności długości dowolnego innego odcinka. Z tego wynika, że prosta jest nieograniczona. Choć nosi nazwę Archimedesa, po raz pierwszy został on sformułowany przez Eudoksosa, a nazwę tę wprowadził Otto Stolz w 1883 roku. Geometrie, które nie spełniają tego aksjomatu, określane są jako niearchimedesowe.

Wkład Dawida Hilberta

Dawid Hilbert, przy opracowywaniu aksjomatów geometrii euklidesowej, uwzględnił aksjomat Archimedesa, dodając do niego aksjomat kompletności (maksymalności) linii prostej. Ten ostatni aksjomat stwierdza, że linia prosta stanowi maksymalny zbiór, który spełnia wszystkie poprzednie aksjomaty.

Aksjomat Archimedesa ma swoje odpowiedniki w arytmetyce. Dla każdej pary dodatnich liczb rzeczywistych a i b, istnieje taka liczba naturalna n, że:

a < n ⋅ b.

W teorii ciał uporządkowanych, spełnianie aksjomatu Archimedesa jest charakterystyczne dla ciał izomorficznych z podciałami ciała liczb rzeczywistych. Mówiąc inaczej, jeśli ciało uporządkowane nie jest izomorficzne z podciałem ciała liczb rzeczywistych, to zawiera elementy, które są większe od wszystkich liczb naturalnych. Takie elementy nazywamy nieskończenie wielkimi.