Aksjomat

Aksjomat, postulat, pewnik

Aksjomat, postulat czy pewnik (gr. ἀξίωμα axíōma, godność, pewność, oczywistość) to jedno z kluczowych pojęć w logice matematycznej. Od czasów Euklidesa, aksjomaty były traktowane jako stwierdzenia uznawane za prawdziwe, które nie wymagają dowodu w ramach danej teorii matematycznej.

W nowoczesnej matematyce definicja aksjomatu uległa pewnym zmianom:

Aksjomaty to zdania wyodrębnione z całego zbioru twierdzeń danej teorii, wybrane w taki sposób, aby wszystkie inne twierdzenia tej teorii mogły wynikać z nich. Ten system aksjomatów określany jest jako aksjomatyką.

Zbiór aksjomatów oraz ich konsekwencji tworzy system aksjomatyczny.

Wyjaśnienie pojęcia aksjomatu

Matematyka składa się z różnych teorii, takich jak geometria euklidesowa czy arytmetyka. Każda z tych teorii korzysta z unikalnego zbioru pojęć. Matematycy zazwyczaj mówią, że dana teoria jest wyrażona w języku opartym na określonym alfabecie.

Przykład: elementami alfabetu geometrii (terminami geometrii) mogą być:

symbol relacyjny P_u(x)
symbol relacyjny P_r(x)
symbol relacyjny L(l, P)

Jeśli P_u(x) jest prawdziwe, oznacza to, że x to punkt. Z kolei, jeśli P_r(x) jest prawdziwe, to x to prosta. Dodatkowo, jeśli L(l, P) jest prawdziwe, wówczas punkt P leży na prostej l.

W historycznej perspektywie logiki matematycznej, pojęcia takie jak punkt, prosta i relacja „punkt leży na prostej” były uważane za pierwotne w geometrii, jednak obecnie takie sformułowanie staje się coraz rzadsze.

Elementy tego alfabetu nie są formalnie definiowane w procesie tworzenia danej teorii. W tym przypadku wystarczy wiedzieć, że dla każdego rozważanego obiektu każdy z symboli relacyjnych może być prawdziwy lub fałszywy. Konkretny sens nadawany jest im dopiero w trakcie tworzenia modelu teorii, co zostanie omówione poniżej.

Teoria w logice to zbiór twierdzeń opisujących pewne relacje między jej pojęciami. Formalnie są to formuły zdaniowe, zapisywane w języku danej teorii za pomocą symboli języka i dodatkowych symboli logicznych, w tym kwantyfikatorów.

Przykład: twierdzenie geometryczne „Przez dwa dowolne punkty można przeprowadzić prostą” można zapisać formalnie w następujący sposób:

P_u(A) ∧ P_u(B) ⇒ ∃ l P_r(l) ∧ L(l, A) ∧ L(l, B)

czyli: Jeśli A i B są punktami, to istnieje taka prosta l, że A oraz B leżą na l.

Niektóre z tych twierdzeń można wykazać na podstawie innych twierdzeń danej teorii. Podczas dowodzenia danego twierdzenia, należy oprzeć dowód na innych twierdzeniach, które również muszą być udowodnione. W związku z tym, aby dowód miał skończoną długość, konieczne jest przyjęcie pewnych zdań jako prawdziwych bez dowodu. Takie zdania określane są mianem aksjomatów, a ich zbiór to aksjomatyką.

Teoria może być zaksjomatyzowana na wiele różnych sposobów; przykładem jest geometria euklidesowa, dla której obok aksjomatów Euklidesa istnieją również aksjomatyka Hilberta i von Neumanna. Te ostatnie są równoważne, co oznacza, że każdą można wyprowadzić z drugiej. Aksjomatyka Euklidesa jest uboższa, nie opisuje pełnej teorii geometrii euklidesowej, lecz jedynie jej podzbiór. Przykładem twierdzenia geometrycznego, którego nie można wyprowadzić z aksjomatów Euklidesa, jest twierdzenie Pappusa-Pascala.

Formalnie, aksjomatem może być dowolna wewnętrznie niesprzeczna formuła zdaniowa wyrażona w języku danej teorii. W praktyce stosowane aksjomaty są zawsze prawdziwe w ramach tej teorii (są tautologiami), są ze sobą niesprzeczne i odpowiadają również węższym definicjom przedstawionym wcześniej. Zwykle aksjomatyka jest także kategoryczna. Powody tego zostaną wyjaśnione w dalszej części artykułu.

Modelowanie

Teorie matematyczne związane są z tzw. modelami tych teorii. Stworzenie modelu polega na określeniu (zinterpretowaniu) każdego z symboli języka danej teorii za pomocą symboli języka innej teorii.

Na przykład, dla dwuwymiarowej geometrii euklidesowej typowym modelem jest przestrzeń kartezjańska oparta na aksjomatach arytmetyki, gdzie:

punkt został zinterpretowany jako para uporządkowana liczb rzeczywistych (to znaczy formalnie P_u(x) uznaje się za prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy x jest parą takich liczb),
prosta została zinterpretowana jako zbiór par (x, y) spełniających równanie (y_A – y_B)(x – x_B) – (x_A – x_B)(y – y_B) = 0,
relacja „punkt leży na prostej” jako relacja przynależności do zbioru.

Modelowanie nie polega na definiowaniu pojęć pierwotnych. Dla tej samej teorii można skonstruować różne modele, więc gdyby tak było, jedno pojęcie musiałoby mieć wiele sprzecznych definicji. Na przykład punkt można zinterpretować także jako parę uporządkowaną liczb algebraicznych (a nie tylko liczb rzeczywistych), a prostą jako zbiór par (x, y) liczb algebraicznych spełniających równanie (y_A – y_B)(x – x_B) – (x_A – x_B)(y – y_B) = 0.

Prawdziwość

Model danej teorii musi spełniać wszystkie jej aksjomaty (co oznacza, że w semantycznym sensie podczas modelowania zakładamy prawdziwość tych aksjomatów). Wtedy wszystkie twierdzenia udowodnione na podstawie tych aksjomatów odnoszą się również do „przetłumaczonych” pojęć. Model w pewnym sensie stanowi praktyczne zastosowanie danej teorii matematycznej.

Niesprzeczność

Każdy model musi spełniać wszystkie aksjomaty danej teorii, dlatego teoria, której aksjomaty są sprzeczne, nie posiada żadnego modelu. Takich aksjomatyk zatem nie stosuje się.

Niezależność

Układ aksjomatów jest niezależny, jeśli żaden z aksjomatów nie wynika z pozostałych. Nie ma formalnego wymogu, aby aksjomaty były niezależne, ani ograniczenia co do ich liczby. Niektórzy matematycy sądzą jednak, że eleganckie jest sformułowanie danej teorii w postaci jak najmniejszej liczby prostych i niezależnych aksjomatów, co ułatwia tworzenie modelu danej teorii oraz upraszcza dowodzenie ich niesprzeczności.

Jeśli A jest skończonym zbiorem aksjomatów, to istnieje podzbiór A’ ⊆ A, taki że A’ jest niezależny, a jednocześnie ma tę samą moc co A, co oznacza, że każdy aksjomat w zbiorze A można udowodnić na podstawie aksjomatów w A’. W przypadku, gdy A jest nieskończony, w ogólnym przypadku nie można znaleźć takiego podzbioru, chociaż w niektórych szczególnych przypadkach może on istnieć.

Zupełność

Często okazuje się, że aksjomatyka nie jest zupełna, co oznacza, że istnieją pewne twierdzenia, które można wyrazić w języku dowolnego modelu danej aksjomatyk, których prawdziwości nie da się ustalić na podstawie tego zbioru aksjomatów. Na przykład geometria euklidesowa była pierwotnie zaksjomatyzowana przez Euklidesa, ale okazało się, że jego aksjomatyka była zbyt uboga, by dowieść pewnych prawdziwych twierdzeń geometrycznych (np. twierdzenia Desargues’a i twierdzenia Pappusa). W wyniku tego powstała nowa aksjomatyka, znana jako aksjomatyka Hilberta.

Z powodów praktycznych, aksjomatów powinno być na tyle dużo, aby prawdziwość wszystkich „ważnych” twierdzeń danej teorii mogła być ustalona na ich podstawie. Kryterium ważności jest subiektywne – teoria, w której żadne zdanie nie może być rozstrzygalne, jest formalnie poprawna, ale bezużyteczna. Nie musi to oznaczać rozstrzygalności wszystkich możliwych twierdzeń danej teorii, chociaż byłby to idealny stan; twierdzenie Gödla mówi, że nawet dla tak prostej teorii jak arytmetyka istnieją twierdzenia, których nie da się wyprowadzić z jej aksjomatów. Co więcej, nie można uzupełnić zbioru aksjomatów arytmetyki skończoną liczbą nowych aksjomatów, aby stał się on wystarczający.

Kategoryczność

Aksjomatykę określamy jako kategoryczną, jeśli wszystkie jej modele są izomorficzne. Oznacza to, że dany zbiór aksjomatów jednoznacznie określa wszystkie cechy definiowanych obiektów. Jeśli aksjomatyka nie jest kategoryczna, można skonstruować dwa różne modele, które będą ją spełniały, ale będą różnić się właściwościami, które można opisać w języku danej teorii.

Historia

Pierwszym uczonym, który postulował zastosowanie aksjomatycznej budowy teorii matematycznych, był Platon. Pierwszą autentyczną aksjomatyką było pięć aksjomatów Euklidesa przedstawionych w jego dziele „Elementy”.

Podwaliny teorii modeli oraz nowe podejście do logiki matematycznej w latach 30. XX wieku ustanowili Alfred Tarski i Kurt Gödel.