Akrecja sferyczna to proces, w którym materia opada w sposób sferycznie symetryczny na obiekt centralny, wywołując przy tym jego przyciąganie grawitacyjne.
Stacjonarny (niezależny od czasu) przepływ akrecyjny o tej geometrii nazywany jest akrecją Bondiego. W tym przypadku tempo akrecji materii jest całkowicie zdeterminowane przez właściwości ośrodka otaczającego centrum grawitacji (na przykład ośrodek międzygwiazdowy) w dużych odległościach, w szczególności przez prędkość dźwięku w tym ośrodku. Prędkość opadającej materii jest niewielka na dużych odległościach, ale wzrasta w miarę zbliżania się do centrum, gdzie zazwyczaj staje się naddźwiękowa.
Akrecja sferyczna ma miejsce, gdy obiekt (gwiazda) nie porusza się z prędkością naddźwiękową względem ośrodka, a opadająca materia nie posiada znaczącego momentu pędu (czyli nie obraca się). Taki proces rozważa się m.in. w kontekście aktywnych jąder galaktyk (zwłaszcza w galaktykach eliptycznych, które są mało aktywne) oraz w kontekście centrum naszej Galaktyki, jako jedno z możliwych wyjaśnień aktywności źródła Sgr A*.
Podstawowe równania
Rozważmy sferycznie symetryczny przepływ na obiekt o masie M. Zakładając stacjonarność i adiabatyczność przepływu, brak lepkości oraz pól magnetycznych, a także ignorując pole promieniowania, równania Naviera-Stokesa można zredukować do układu dwóch równań (ciągłości i radialnej równowagi sił):
gdzie
v
{\displaystyle v}
oznacza prędkość,
ρ
{\displaystyle \rho }
to gęstość,
p
{\displaystyle p}
zaś ciśnienie. Dwie ostatnie wielkości można powiązać politropowym równaniem stanu:
p
=
K
ρ
γ
,
{\displaystyle p=K\rho ^{\gamma },}
gdzie
K
{\displaystyle K}
oraz
γ
{\displaystyle \gamma }
to stałe.
Scałkowanie powyższych równań od
r
=
∞
{\displaystyle r=\infty }
(zakładając
p
=
0
,
{\displaystyle p=0,}
ρ
=
0
,
{\displaystyle \rho =0,}
v
=
0
{\displaystyle v=0}
) prowadzi do postaci całkowej równania ciągłości oraz równania Bernoulliego:
gdzie stałe całkowania
M
˙
{\displaystyle {\dot {M}}}
oraz
E
{\displaystyle E}
należy interpretować jako tempo akrecji i stałą Bernoulliego.
Prędkość dźwięku i punkt dźwiękowy
Wprowadzając prędkość dźwięku
do równań (3) i (4) otrzymujemy:
Uwzględniając logarytmiczną pochodną równania (1), tj.
można usunąć
d
ρ
/
d
r
{\displaystyle d\rho /dr}
z równania (2) i uzyskać w ten sposób równanie sferycznej akrecji (jak również wiatru gwiazdowego):
gdzie
c
s
{\displaystyle c_{s}}
jest podane wzorem (7).
Równanie (9) pozwala określić wartość radialnej pochodnej prędkości akrecji, a tym samym ustalić radialny profil samej prędkości. Łatwo zauważyć, że wartość tej pochodnej jest dobrze zdefiniowana tylko wtedy, gdy
v
2
≠
c
s
2
{\displaystyle v^{2}\neq c_{s}^{2}.}
Natomiast w punkcie, w którym prędkość gazu równa się lokalnej prędkości dźwięku (
v
2
=
c
s
2
{\displaystyle v^{2}=c_{s}^{2}}
– punkt dźwiękowy), dla regularności rozwiązania konieczne jest jednoczesne zerowanie się prawej strony równania (9). Z tego wynika wzór na położenie punktu dźwiękowego:
r
s
o
n
i
c
=
G
M
2
c
s
,
s
o
n
i
c
2
=
5
−
3
γ
4
(
γ
−
1
)
G
M
E
,
{\displaystyle r_{sonic}={\frac {GM}{2c_{s,sonic}^{2}}}={\frac {5-3\gamma }{4(\gamma -1)}}{\frac {GM}{E}},}
W tym wyprowadzeniu konieczne jest wykorzystanie równania (7), podstawiając
v
s
o
n
i
c
=
−
c
s
,
s
o
n
i
c
:
{\displaystyle v_{sonic}=-c_{s,sonic}{:}
v
s
o
n
i
c
=
2
γ
−
1
γ
+
1
(
E
+
G
M
r
)
.
{\displaystyle v_{sonic}=2{\frac {\gamma -1}{\gamma +1}}\left(E+{\frac {GM}{r}}\right).}
Tempo akrecji
Równania (6) i (7) można teraz zapisać w następujący sposób:
(
K
γ
)
1
/
(
γ
−
1
)
M
˙
=
4
π
r
s
o
n
i
c
2
|
v
s
o
n
i
c
|
(
γ
+
1
)
/
(
γ
−
1
)
,
{\displaystyle (K\gamma )^{1/(\gamma -1)}{\dot {M}}=4\pi r_{sonic}^{2}|v_{sonic}|^{(\gamma +1)/(\gamma -1)},}
E
=
5
−
3
γ
2
(
γ
−
1
)
v
s
o
n
i
c
2
.
{\displaystyle E={\frac {5-3\gamma }{2(\gamma -1)}}v_{sonic}^{2}.}
Z powyższych równań wynika, że tempo akrecji
M
˙
,
{\displaystyle {\dot {M}},}
dla którego spełniony jest warunek regularności w punkcie dźwiękowym, nie jest niezależne od stałej Bernoulliego,
E
{\displaystyle E.}
Aby rozwiązanie było ponaddźwiękowe (przechodziło w regularny sposób przez punkt dźwiękowy), musi być spełniona między nimi następująca relacja:
Stałą Bernoulliego
E
{\displaystyle E}
można interpretować na podstawie wzoru (7) jako proporcjonalną do temperatury ośrodka międzygwiazdowego, który stanowi rezerwuar materii dla akreującego obiektu. Z tego wynika, że temperatura tego ośrodka jednoznacznie determinuje tempo akrecji zgodnie ze wzorem (10). Akrecja stacjonarna jest możliwa jedynie dla
1
<
γ
⩽
5
/
3.
{\displaystyle 1<\gamma \leqslant 5/3.}
W przypadku nierelatywistycznego gazu o
γ
=
5
/
3
{\displaystyle \gamma =5/3}
tempo akrecji wynosi:
Warto zauważyć, że te same równania opisują również proces wywiewania materii („ujemnej akrecji”) z powierzchni obiektu będącego źródłem pola grawitacyjnego. Przykładem takiego procesu jest utrata materii z gwiazd poprzez wiatr gwiazdowy. W tym przypadku tempo utraty masy na skutek wiatru również określane jest wzorem (10), w którym na początku dodaje się minus.
Bibliografia
H. Bondi (1952) MNRAS 112, 195.
Frank, King & Raine, Accretion Power in Astrophysics, Cambridge University Press.
Kato, Fukue & Mineshige, Black-Hole Accretion Disks – Towards a New Paradigm, Kyoto University Press.
Loading ...