Acykliczność

Acykliczność to cecha preferencji oraz innych relacji dwuczłonowych, która wymaga, aby przeciwsymetryczna część relacji nie zawierała cykli.

Definicja

Formalnie, relacja dwuczłonowa R jest acykliczna, jeśli nie istnieje ciąg elementów x ₁, x ₂, …, x _n, taki że:

x ₁ R x ₂, x ₂ R x ₃, …, x _n-1 R x _n, x _n R x ₁. Często przyjmuje się, że relacja R jest przeciwsymetryczna.

Acykliczność a przechodniość

Dla każdej (słabej) relacji preferencji R można zdefiniować przeciwsymetryczną podrelację silnej preferencji P oraz symetryczną podrelację obojętności I w sposób następujący. Konsument silnie preferuje x wobec y, co zapisuje się jako x P y, jeśli woli x od y (tj. zachodzi x R y) oraz nie woli y od x (tj. nie zachodzi y R x). Konsument jest obojętny między x a y, co zapisuje się jako x I y, jeśli jednocześnie woli x od y i y od x (tj. zachodzi x R y i y R x).

Własność acykliczności (przy założeniu przeciwsymetryczności) jest istotnie słabsza niż podobna do niej własność przechodniości. Na przykład, jeśli x P y, y P z oraz x I z, wówczas relacja silnej preferencji P jest acykliczna, mimo że nie jest przechodnia. Podobnie, jeżeli x I y, y I z i x P z, wówczas relacja obojętności I jest acykliczna, mimo że nie jest przechodnia.

Acykliczność w naukach społecznych

Gdy zbiór S dostępnych alternatyw zawiera więcej niż dwa elementy, istnieje potrzeba zdefiniowania podzbioru C(S) zbioru S, złożonego z tych alternatyw, które mogłyby zostać wybrane, gdyby decydent mógł wybierać spośród wszystkich elementów zbioru S. Tak więc C jest odwzorowaniem wielowartościowym przyporządkowującym rozważanym zbiorom pewne ich podzbiory.

Taka multifunkcja wyboru powinna być w pewnym sensie zgodna z dwuczłonową relacją preferencji P zdefiniowaną na zbiorze S. Naturalnym kandydatem na takie odwzorowanie wielowartościowe C(S) jest zbiór alternatyw, które nie są zdominowane, czyli takich elementów x należących do zbioru S, dla których nie istnieje element y w tym zbiorze spełniający warunek x P y.

Acykliczność relacji P jest warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia niepustego podzbioru niezdominowanych elementów, dla dowolnego, skończonego podzbioru S. Dodatkowo, zdefiniowana w ten sposób multifunkcja wyboru C(S) posiada następującą własność: jeżeli T jest podzbiorem S i jeżeli x jest elementem zarówno T, jak i C(S), wówczas x musi być elementem C(T).

Intuicyjna interpretacja tej własności jest następująca: Jeżeli osoba x jest mistrzem świata (elementem C(S)) i Polakiem (elementem T), wówczas musi ona być również mistrzem Polski (elementem C(T)). Ta własność jest atrakcyjna, ponieważ oznacza, że jeżeli jakaś opcja x nie została wybrana z podzbioru T, to nie trzeba jej rozpatrywać przy analizie wyboru z większego zbioru S, ponieważ opcja x nie zostanie również wybrana z S.

Historia

Badanie relacji acyklicznych sięga co najmniej 1785 roku, kiedy to Jean Condorcet analizował paradoks głosowania, w którym preferencje poszczególnych wyborców są przechodnie, a mimo to preferencja uzyskana przez głosowanie większościowe jest cykliczna.

Acykliczność ma duże znaczenie we współczesnej teorii ekonomii. W teorii wyboru konsumenta mocny aksjomat preferencji ujawnionych stwierdza, że relacja preferencji ujawnionych konsumenta jest acykliczna. Acykliczność pojawia się również w teorii gier. Acykliczność relacji dominacji jest ściśle związana z jednoznacznością istnienia punktu równowagi w rozwiązaniu zaproponowanym przez Johna von Neumanna i Oskara Morgensterna. Najwięcej uwagi acykliczność zyskała w kontekście badań laureata Nagrody Banku Szwecji im. Alfreda Nobla w dziedzinie ekonomii, Kennetha Arrowa, dotyczących jego twierdzenia o niemożności. Arrow udowodnił, że agregacje preferencji spełniające dwa aksjomaty i przechodniość muszą być dyktatorskie. W późniejszych latach próbowano uniknąć tego paradoksu, osłabiając wymaganie, aby preferencje społeczne były nieprzechodnie, lecz jedynie acykliczne. Okazuje się, że takie reguły istnieją, jednak ich własności są podobne do reguł dyktatorskich.