Abstrakcja (matematyka)

Abstrakcja w matematyce

Abstrakcja to sposób myślenia, który stanowi fundament matematyki. Polega na eliminacji pewnych cech obiektów fizycznych, co pozwala na uwypuklenie tych najbardziej istotnych. Dzięki temu powstają wszystkie obiekty matematyczne, które są wytworami tej metody, a nie odzwierciedleniem rzeczywistości.

Abstrakcja może występować w formie wielostopniowej. Przykładem jest geometria Euklidesa, która stworzyła system obiektów oraz relacji między nimi, opierając się na podstawowych abstrakcjach, takich jak punkt i prosta. Na tej podstawie wykształcone zostały przestrzenie metryczne, będące kolejnym poziomem abstrakcji, a w dalszej kolejności przestrzenie topologiczne, które są abstrakcją przestrzeni metrycznych.

Od strony formalnej, proces abstrahowania często polega na wprowadzaniu relacji równoważności w klasie obiektów i badaniu klas abstrakcji tych relacji. Klasy obiektów równoważnych nazywane są klasami abstrakcji.

W nowoczesnej matematyce występuje również metoda uzyskiwania pojęć abstrakcyjnych przez idealizację. Ta technika polega na wyobrażeniu sobie właściwości czy cech, które w rzeczywistości nie mają miejsca. Przykładem może być koncepcja nieskończoności, która stanowi podstawę teorii mnogości w matematyce. Związane z nią są takie pojęcia, jak moc zbioru, różne rodzaje nieskończoności, liczby porządkowe, indukcja pozaskończona oraz aksjomat wyboru. Istotnym odkryciem w tej dziedzinie jest fakt, że zbiór liczb naturalnych nie jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.

Przykłady abstrakcji

Punkt w przestrzeni jest abstraktem, który reprezentuje miejsce, pomijając jego kolor, strukturę czy twardość.
Każda figura w geometrii euklidesowej jest przykładem abstrakcji.
Płaszczyzna euklidesowa jest abstraktem powierzchni Ziemi, co ma zastosowanie m.in. w geodezji, gdzie abstrahuje się od drobnych nierówności terenu.
Zbiór jest również abstraktem, w którym pomijane są wszystkie cechy elementów poza tym, że są one jego składnikami.
Paradoksalny podział kuli Banacha-Tarskiego jest twierdzeniem abstrakcyjnym, które ilustruje korpuskularną naturę świata i pokazuje rolę idealizacji w odkrywaniu nowych właściwości znanych obiektów.